[問題2018a01]計算下列 $n+1$ 階行列式的值: $$|a|=\begin 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ -2 & a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ (-1)^n & a_1^n & a_2^n & \cdots & a_n^n \\ \end.$$
[問題2018a02]設 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 為 $n$ 個複數, 滿足: $$\left\\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=r,\\ \lambda_1^2+\lambda_2^2+\cdots+\lambda_n^2=r,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots \\ \lambda_1^n+\lambda_2^n+\cdots+\lambda_n^n=r,\\ \lambda_1^+\lambda_2^+\cdots+\lambda_n^=r,\\ \end\right.$$ 其中 $r\in [0,n]$ 為整數. 證明: $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 中有 $r$ 個 $1$, $n-r$ 個 $0$.
提示用 vandermonde 行列式和 cramer 法則來做.
[問題2018a03]設 $a=(a_)$ 為 $n$ 階方陣, $b$ 為常數, 方陣 $b=(a_+b)$, 即 $b$ 的每個元素都是 $a$ 中對應元素加上 $b$.
(1) 證明: $a$ 的所有代數余子式之和等於 $b$ 的所有代數余子式之和;
(2) 進一步假設 $a$ 是偶數階反對稱陣, 證明: $|a|=|b|$.
[問題2018a04]計算下列 $n$ 階行列式的值: $$|a|=\begin x & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ n-1 & x & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & n-2 & x & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n-3 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \\ \end.$$
[問題2018a05]設 $\alpha,\beta$ 為 $n$ 維列向量且 $\alpha\neq 0$, 試構造 $n$ 階方陣 $a$, 滿足以下兩個條件：
(1) $a\alpha=\beta$;
(2) 對任一滿足 $\alpha'\gamma=0$ 的 $n$ 維列向量 $\gamma$, 均有 $a\gamma=\gamma$.
[問題2018a06]試求下列矩陣 $a=(a_)$ 的秩, 其中:
(1) $a_=\cos(\alpha_i-\beta_j)$ (參考復旦高代教材第二章複習題46)；
(2) $a_=1+x_iy_j$ (參考復旦高代教材第二章複習題45).
[問題2018a07]設 $v_1,\cdots,v_m,w$ 都是線性空間 $v$ 的子空間, 滿足 $w\subseteq v_1\bigcup v_2\bigcup\cdots\bigcup v_m$. 證明: 存在某個 $1\leq i\leq m$, 使得 $w\subseteq v_i$.
[問題2018a08]設 $a,b$ 分別為 $m\times n$ 和 $n\times m$ 矩陣, $c$ 為 $n$ 階非異陣, 滿足 $a(c+ba)=0$. 證明: 線性方程組 $ax=0$ 的通解為 $(c+ba)\alpha$, 其中 $\alpha$ 為任意的 $n$ 維列向量.
[問題2018a09]設 $s$ 是線性空間 $v$ 中的向量族, 並且至少包含乙個非零向量. 證明: $s$ 存在極大無關組的充要條件是 $s$ 張成的子空間 $l(s)$ 是乙個有限維線性空間.
注本題推廣了復旦高代教材的命題 3.5.1.
[問題2018a10]設 $v,u$ 分別是數域 $k$ 上的 $n,m$ 維線性空間, $\varphi,\psi:v\to u$ 是兩個線性對映, 證明: $\mathrm\varphi\subseteq\mathrm\psi$ 的充要條件是存在 $v$ 上的線性變換 $\xi$, 使得 $\varphi=\psi\xi$.
[問題2018a11](1) 請利用相抵標準型理論證明: 若 $a$ 為 $n$ 階冪等陣, 即 $a^2=a$, 則 $\mathrm(a)=r(a)$. 利用相似標準型理論證明這一結論, 可參考***的例 4.49(2).
(2) 設 $\varphi$ 是 $n$ 維線性空間 $v$ 上的線性變換, 滿足 $\varphi^m=i_v\,(m\geq 2)$, $w=\mathrm(i_v-\varphi)$. 證明: 線性變換 $\dfrac\sum\limits_^\varphi^i$ 的跡等於 $\dim w$.
[問題2018a12]設迴圈矩陣 $a=\begin a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_ \\ a_ & a_n & a_1 & \cdots & a_ \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \\ \end$, 證明: 伴隨陣 $a^*$ 也是迴圈矩陣.
提示把 $a$ 相似於對角陣, 然後用 lagrange 插值公式來做.
[問題2018a13]設複係數多項式 $f(x),g(x)$ 互素, 證明: $f(x)^2+g(x)^2$ 的重根必為 $f'(x)^2+g'(x)^2$ 的根.
[問題2018a14]設 $p$ 為奇素數, 證明: 多項式 $f(x)=(p-1)x^+(p-2)x^+\cdots+2x+1$ 在有理數域上不可約.
復旦高等代數 I（17級）每週一題
問題2017a01 設 a begin 1 4 7 cdots 3n 2 1 5 9 cdots 4n 3 a a a cdots a vdots vdots vdots vdots a a a cdots a end,其中 n geq 2 a 是 a 的第 i,j 元素的代數余子式.證明 a su...
復旦大學高等代數期末考試班級前幾名
2017 2018學年第二學期高等代數ii 17級 張菲諾 95 劉宇其 95 魏一鳴 93 郭宇城 92 程梓兼 91 葛珈瑋 90 汪子怡 90 餘張偉 90 張昰昊 89 朱柏青 89 2017 2018學年第一學期高等代數i 17級 郭宇城 100 魏一鳴 93 喬嘉瑋 92 劉宇其 90 ...
復旦高等代數 II（17級）每週一題
問題2018s01 1 設 a x 1,x 2,cdots,x m a x 1,x 2,cdots,x m 為 n 階方陣,其所有元素 a x 1,x 2,cdots,x m 都是關於未定元 x 1,x 2,cdots,x m 的多項式.設 h i x 1,x 2,cdots,x m neq 0 1...