【manacher演算法】
這個演算法用來找出乙個字串中最長的回文子字串。
如果採取暴力解最長回文子字串問題，大概可以有兩種思路：1. 遍歷出所有子字串找其中最長的回文 2. 從每個字元作為中心，向兩邊擴散看是否回文。 第二種比第一種稍微高明一點，但是總體的複雜度還是o(n^2)的。
而manacher演算法可以做到o(n)時間複雜度，o(n)空間複雜度。
■ 思路&描述
回文字串有乙個比較麻煩的地方，就是回文串有偶回文和奇回文兩種，分別舉例abba和abcba。這種區別可能要讓我們在程式中額外伸出乙個判斷分支來，不是很方便。所以manacher演算法的第一步就是預處理字串，將原先的字串所有字元中間再加上頭尾兩端都加上乙個特殊符號，這樣就可以把所有可能的回文串都變成了奇回文串，方便處理：
如abba變成#a#b#b#a#，abcba變成#a#b#c#b#a#。此外，一般實踐中為了保證邊界上也能統一，還會額外在頭上（理論上字串尾也可以加，但是目前尾巴上肯定是#，大不了我們遍歷的時候最後這輪以這個#字元為基礎的遍歷不去做了，這樣就可以避免尾部邊界出錯）加上乙個$或者其他有別於#的特殊符號表示字串的開始。經過這樣預處理之後的字串可以拿來被manacher演算法處理。
接下來，基本思路肯定還是要找出以每個字元為中心時，回文串最長可以做到多少。只是乙個個去遍歷太暴力了，這裡可以借鑑一下動態規劃中的一點小心思，也就是說我們能不能利用已有的資訊（當然這部分資訊是需要在之前的分析過程中手動儲存下來的）來更加方便地推出我們未知的資訊。
比如我們可以建立乙個陣列p，針對被加工過字串s，p的長度被設定為和s等長，且p中儲存的內容，是以對應原s字串中那個字元為中心，其最大回文子字串的半徑長度。由於s中所有回文串都是奇回文串，所以我們所說的半徑是指從回文串的左端開始到中心（算入中心）的長度。如#a#b#a#的半徑是4，#a#b#b#a#的半徑是5。
那麼如何基於一些現有資訊推斷新的資訊呢？考慮這樣一種情形：假如我們以i變數作為向右遍歷的下標，逐漸向右遍歷確定了乙個回文子串。這個子串的中心和半徑兩個引數都是可以明確的。不妨稱中心的下標為id，稱回文串最右端下標為mx（這也是後續編碼過程中需要使用的兩個輔助變數）。確定完id和mx之後我們繼續往右推移i。
當我們來到乙個新的i時，如果它還在mx範圍內，此時可以注意到，其實存在乙個點j，j和i關於id對稱，由於id,mx的回文特性，所以j的回文串很大可能就是i的回文串。這種可能成為確定只需要乙個條件，那就是p[j]的取值，沒有超出id,mx這個回文串的範圍。下面是盜來的圖，說明了i,j,id,mx以及mx'（mx關於id的對稱點）的布局。
那麼如果p[j] > j - mx'，即j對應的回文串已經超出了mx的範圍，此時改怎麼辦？很顯然，在mx'到j的這段內容，由於id,mx的回文性，還是可以對應到i到mx這段內容的。至於mx之後的內容，只能再去乙個個字元遍歷過去看能不能符合回文。
總的來說，當i仍然小於mx時，i的取值應該可以取min(p[j],mx-i)，當取p[j]的時候，p[i]就是p[j]的值。當取mx-i的時候，mx-i還只是乙個基礎值，還需要進一步處理來獲得準確值。
還沒有討論完，剛才說的都是i為了保證遞推的連續性，不論上上述哪種可能，獲得到i的回文串之後，都需要將id和mx進行更新。應該注意，id和mx並不是我們最後要求的最長回文子串的屬性，而只是當前已經遍歷過的最靠右的乙個回文子串的屬性。
而要求最長回文子串的屬性我們可以再維護乙個類似於longestinfo之類的變數，每找出乙個回文子串後判斷它是不是最長的。所有迴圈結束後去這個變數裡面取值就好了。
■ 編碼實現
下面是manacher演算法的python實現：
deflongestpalindrome(s):
""":type s: str
:rtype: str
"""s = '
$#' + '
#'.join(list(s)) + '#'
#預處理
p = [0] *len(s)
longestinfo =[0,0]
i,currres,currmax = 1,0,0 #
由於s[0]是$，所以i從1開始取值。id和mx分別換了個名字currres和currmax
while i
if i > currmax: #
i已經超出mx的情況
p[i] = 1
else: #
i未超出mx，再分成兩種情況，體現在min函式中
j = 2*currres -i
p[i] = min(p[j],currmax-i)
#此時p[i]並不一定已經正確，除了決定p[i]=p[j]，其他兩個分支都只是給了p[i]乙個基準值
while i-p[i]>0 and i+p[i]and s[i-p[i]] == s[i+p[i]]:
#進行乙個個字元向外擴散的回文性檢查
#注意為了防止越界訪問，還要有邊界判斷條件
p[i] += 1
#這時p[i]才得到了最終確定的值 接下來就是將其相關屬性與已有的currres和currmax比較，看是否需要更新
if i + p[i] >currmax:
#更新id和max
currres =i
currmax = i + p[i] - 1
if p[i] > longestinfo[1]:
#更新最終結果值
longestinfo =i,p[i]
i += 1center =longestinfo[0]
radius = longestinfo[1] - 1 #
注意，半徑把對稱中心本身算進去了，所以減一
return s[center-radius:center+radius+1].replace('
#','') #
直接replace去掉所有輔助字元，得到的就是原字串的結果了。
Manacher最長回文串演算法
在介紹演算法之前，首先介紹一下什麼是回文串，所謂回文串，簡單來說就是正著讀和反著讀都是一樣的字串，比如abba，noon等等，乙個字串的最長回文子串即為這個字串的子串中，是回文串的最長的那個。一.通常解決的問題 給定乙個字串，求出其最長回文子串。例如 1 s abcd 最長回文長度為 1 2 s a...
manacher演算法（最長回文串）
題目解釋 子串 小於等於原字串長度由原字串中任意個連續字元組成的子串行 回文 關於中間字元對稱的文法，即 aba 單核 cabbac 雙核 等 最長回文子串 1.尋找回文子串 2.該子串是回文子串中長度最長的。首先要知道這個演算法是用來在o n 的時間裡看乙個字串的最長回文子串的長度是什麼。其次，它...
Manacher演算法 最長回文串
若字串長度為n，則演算法的時間複雜度為o n 假設有乙個字串abaaba 先把該字串變成 a b a a b a 第乙個字元設為 防止計算的時候陣列越界 再計算p陣列，先給出p陣列的答案 i為座標，ma陣列放改變後的字串，p陣列代表以該字元為中心，向右和向左延伸p i 個，是回文串 i 0 1 2 ...