路徑壓縮優化並查集大家一定很熟練了，那麼它的複雜度是多少呢？o(m
α(n)
)o(m\alpha(n))
o(mα(n
))？的確，很多人都是這麼說的，但是事實上它的複雜度是o(m
log1+
m/nn
)o(m\log_n)
o(mlog1+
m/n
n)的，並且能找到一種方法卡到這樣的複雜度。
要卡並查集，首先要構造一種樹——二項樹。這種二項樹還與普通的不太一樣。
定義：在給定j
jj的情況下，二項樹t
kt_k
tk定義如下：
這棵樹非常有意思，我們可以展開tk−
jt_tk−j
，接著展開tk−
2jt_tk
−2j
……另外，也可以展開tk−
1t_tk−1
，接著展開tk−
容易發現，圖5看起來像圖4的路徑壓縮之後的結果，但是不完全一樣。
如果首先按照圖5的方式展開j
jj棵子樹，再按圖4展開，可以得到
此時，如果在根節點上再加乙個點，j
jj次訪問t
1t_1
t1到t
jt_j
tj，那麼路徑壓縮後可以得到圖5外加乙個點作為根的兒子。
也就是說，這棵二項樹路徑壓縮後約等於沒有路徑壓縮……只是將原來作為根結點父親的那個點變成了兒子。
至於t
kt_k
tk的點數，通過數學歸納法可以發現不會超過(j+
1)k/
j−1(j+1)^
(j+1)k
/j−1
個。假設m≥n
m\geq n
m≥n，令j=m
n,i=
logj+
1n2+
1,k=
ijj=\frac,i=\log_\frac+1,k=ij
j=nm,
i=logj+1
2n
+1,k
=ij，那麼t
kt_k
tk的點數不超過n
2\frac
2n。接下來做n
2\frac
2n組操作，每次加入乙個點作為根結點的父親，然後對t
1t_1
t1到t
jt_j
tj逐個查詢，每次查詢的長度是i+1
i+1i+
1，同時查詢的次數顯然不超過m
mm。因此總操作次數為n2j
(i+1
)\fracj(i+1)
2nj(i
+1)，即o(m
log1+
m/nn
)o(m\log_n)
o(mlog1+
m/n
n)。取自**計畫#4 快速構造支配樹的lengauer-tarjan演算法。
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