動態規劃原理

運用動態規劃求解最優化問題第一步

若乙個問題的最優解中包含其子問題的最優解，則此問題具有最優解的結構性質。因為使用子問題的最優解構造原問題最優解，所以我們必須確保考察了最優解中用到的所有子問題。

如何發掘最優子結構性質

證明問題最優解的第乙個組成部分是做出乙個選擇。例如切割鋼條的第一次切割位置。做出該選擇後，將會產生乙個或者多個待解的子問題。

對於乙個給定的問題，在其可能的第一步選擇中，假定已經知道哪種徐哲才會得到最優解。此時我們並不關心具體選擇時如何得到的，只是假定已經知道了該選擇。

給定了可獲得最優解的選擇後，我們要確定這次選擇將會產生哪些子問題，以及如何最好地刻畫子問題空間。

利用「剪下-貼上」技術證明（假設法）子問題的最優解就是原問題最優解的一部分。

刻畫子問題空間的好經驗就是盡量保持子問題空間盡可能簡單，必要時才擴充套件它,並且我們要保持每個子問題的性質是一樣的（重點也是難點）。

對於不同問題領域，最優子結構的不同體現在兩個方面：

原問題的最優解中設計多少個子問題（子問題總數n），以及

在確定最優解使用哪些子問題時，我們需要考察多少種選擇（每個子問題需要考察多少種選擇m）。

我們可以用n∗m

n*mn∗

m粗略分析動態規劃演算法的執行時間。

同樣，子問題圖也可以用來做同樣的分析—結點代表子問題數，每個結點的出度代表每個子問題所對應的選擇數。

子問題必須是無關的

同乙個原問題的子問題的解不影響另乙個子問題的解（求解乙個子問題時，用到了某些資源，則其他子問題在求解時則不可用該資源，若不用該資源問題可以得到解決，則稱子問題無關，否則稱為子問題相關）。

子問題空間必須足夠「小」，在遞迴過程中的特徵就是會反覆求解相同的子問題，而不是一直生成新的子問題。如果採用遞迴形式，若要解決重複計算相同子問題的問題，則可以採用「備份」的方式，對每個子問題之求解一次，下次遇到相同的子問題時，只要返回之前解決過的相同子問題的結果即可。這樣可以大大減少執行時間。

若要重構最優解，則我們可以將每個子問題所做出的的選擇存在乙個表中，這樣就不必根據代價值來重新計算來重構這些資訊，從而減少執行時間。這個表的規模要與子問題規模一致。具體輸出最優解的方案，需要結合子結構性質，大部分情況下需要採取遞迴形式來輸出最優解方案。