動態規劃優化問題 5

例四：扔雞蛋問題

定義雞蛋的硬度為 k，則代表雞蛋最高從 k 樓扔下來不會碎掉，現在給你 n 個硬度相同的雞蛋，樓高為 m，問最壞情況下最少測多少次，可以測出雞蛋的硬度。

我們假設有2個雞蛋，100層樓。那麼我們應該如何扔在最壞情況下測的次數最少呢？

1.二分法：剛開始我傻傻的以為是二分法，第乙個雞蛋在第50層扔，但是如果乙個雞蛋在第50層碎了，那麼第二個雞蛋只能從第1層扔直到第49層，才能測出雞蛋的硬度（在最壞情況為49層時），這樣最壞情況下需要測50次

2.平方根法：我們繼續優化，我們每10層測一次，第10層若碎了，第二個雞蛋就從1層測到9層。若沒碎繼續測第20層…以此類推，最壞情況是第99層時，這時我們需要測10 + 9 = 19次

3.假設法：方法二一定是最優解嗎？我們可以假設一下，設2個雞蛋100層樓在最壞情況下最多測x次，那麼第乙個雞蛋應該放在第x層最合適（如果第乙個雞蛋放在是x + i層，如果碎了最壞情況下最多測x + i次，比x次多；如果第乙個雞蛋放在x - i層，如果沒碎的話，由於x - i比x小，所以它剩餘測的次數一定 >= x）

因此，我們第一次放在x層（碎了話最多測x次，沒碎的話第二次放在2 * x - 1層，碎的話最多測x次，沒碎的話第三次放在3 * x - 3層，碎的話最多測x次，沒碎的話第四次放在4 * x - 6層…依次類推），我們只要保證x + (x - 1) + (x - 2) … + 1 >= 100即可，這樣解出最優答案為14

好了，以上是推理，我們可以用dp的方法來求出正確的答案。我們可以假設dp[i][j]代表i個雞蛋j層樓最少測多少次。這樣我們可以得到：

初始化：
dp[1][j] = k (1 <= j <= m) //乙個雞蛋j層樓最壞情況下最少需要測j次
dp[i][1] = 1 (1 <= i <= n) //i個雞蛋1層樓最壞情況下最少需要測1次
這樣我們可以得到dp轉移式：
dp[i][m] = min(max(dp[i - 1][j - 1], dp[i][m - j])) (1 <= j <= m)

那麼，當n範圍為1e2，m範圍為1e9的時候，我們怎麼辦呢？

陣列肯定開不下那麼大，而且上面演算法的時間複雜度為o(n(m^2))，會直接爆掉的。這時我們就可以進行重新定義狀態資訊來優化演算法。

我們可以假設dp[i][j]代表i個雞蛋測j次最多能測多少層樓。這樣我們可以得到：

//初始化：
dp[1][j] = j //乙個雞蛋測j次最多可以測j層樓
dp[i][1] = 1 //i個雞蛋測1次最多可以測1層樓
我們假設第i個雞蛋測k次最多測n層樓，那麼在測n層樓的情況下，第一次需要測的位置應該是i-1個雞蛋測k - 1次最多測的層數+1(只有滿足這個條件，在第m層碎了測的次數最壞情況才為k)
若在第m層沒碎，那麼往上最多能測的層數應該是i個雞蛋測k - 1次最多的層數
因此，dp[i][k] = dp[i - 1][k - 1] + dp[i][k - 1] + 1
我們只要找第乙個dp[n][j]大於m的j即是正確答案

最後上ac**：

#include #define ll long long
ll dp[35][100005] = ;
int main () else 
for (int i = 1; i <= n; i++) 
for (int i = 2; i <= n; i++) 
}for (int j = 1; j <= 100000; j++) }}
return 0;
}

如果有寫的不對或者不全面的地方可通過主頁的****進行指正，謝謝

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