換個姿勢學數學 函式 奇偶性 的由來

uxe001[1]

之前談論到「奇偶性」的時候(ux002)，我認為這個名字起得並不好，因為實在是很難從字面上聯想到數學性質本身。

所以我建議叫做「對稱性」，y軸對稱 和 原點對稱。

但是在偶然的一次思路梳理中，我突然明白了「奇偶性」背後的意思。

幾天前我查資料的時候，還沒有看到網上有這種觀點，鑑於這種觀點還不為人重視，所以我認為有必要寫一篇文章，專門的說一下。

從影象的角度來看，無疑就是y軸對稱和x軸對稱，這個完全不用解釋，誰都能看懂，重新貼一下之前的圖。

原點對稱(奇函式)f(-x)=-f(x)

y軸對稱(偶函式)f(-x)=f(x)

定義變換 g 為：改變引數的符號。

從解析的角度來說，「奇偶性」其實**的是：應用變換g後，函式輸出值的變化規律。

最後的規律是：有一種函式符號沒有變，有一種函式符號變更了。

符號不變屬於運算中「偶數」的性質，符號變更屬於運算中「奇數」的性質。[2]

所以這種變換規則(運算)也就叫做函式的「奇偶性」了。[3]

在之後的文章中，「奇偶性」將會被重新啟用，主要用於解析式研究和代數計算；「對稱性」這種說法仍然會使用，主要用於觀察函式影象。

關於「私有定義」和「私有名詞」的利弊，在群裡剛進行過一次大討論。我對這次的討論非常滿意，讓我對這個問題有了一些新的認識。關於這方面的內容，我將會把它寫在常見問題解答(fqa)中，對此感興趣的可以去看看。

[1]uxe是「換個姿勢學數學」的番外篇序號。

[2] 比如，-1×-1=1，當引數的符號都改變時，引數的數量如果是偶數，那麼輸出值符號反而不變；但是-1×-1×-1=-1，當引數的符號都改變時，引數的數量如果是奇數，那麼輸出值的符號必然改變。

當然，冪運算中也是如此(冪運算是以上運算規律的一種特殊情況)，所以用冪函式來表示一下，這種性質就顯露無疑了。

放上這張圖，恐怕沒人再不懂了吧：

(發出來之後，有人問我什麼樣的運算是我說的那樣，然後我這麼告訴他的，並且驕傲的配圖了。所以，加個注釋吧。歡迎繼續找茬或者讚美。)

[3] 只是一種能「自圓其說」的猜測。至於第一次使用的人是怎麼想的，或者是在數學史上，這個命名經歷了怎麼樣的變遷，我是不知道的。

我是心如止水，歡迎你和我換個姿勢學數學。

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