換個姿勢學數學 函式 奇偶性 的由來

2021-09-12 18:00:44 字數 1375 閱讀 6502

uxe001[1]

之前談論到「奇偶性」的時候(ux002),我認為這個名字起得並不好,因為實在是很難從字面上聯想到數學性質本身。

所以我建議叫做「對稱性」,y軸對稱 和 原點對稱。

但是在偶然的一次思路梳理中,我突然明白了「奇偶性」背後的意思。

幾天前我查資料的時候,還沒有看到網上有這種觀點,鑑於這種觀點還不為人重視,所以我認為有必要寫一篇文章,專門的說一下。

從影象的角度來看,無疑就是y軸對稱x軸對稱,這個完全不用解釋,誰都能看懂,重新貼一下之前的圖。

原點對稱(奇函式)f(-x)=-f(x)

y軸對稱(偶函式)f(-x)=f(x)

定義變換 g 為:改變引數的符號。

從解析的角度來說,「奇偶性」其實**的是:應用變換g後,函式輸出值的變化規律。

最後的規律是:有一種函式符號沒有變,有一種函式符號變更了。

符號不變屬於運算中「偶數」的性質,符號變更屬於運算中「奇數」的性質。[2]

所以這種變換規則(運算)也就叫做函式的「奇偶性」了。[3]

在之後的文章中,「奇偶性」將會被重新啟用,主要用於解析式研究和代數計算;「對稱性」這種說法仍然會使用,主要用於觀察函式影象。

關於「私有定義」和「私有名詞」的利弊,在群裡剛進行過一次大討論。我對這次的討論非常滿意,讓我對這個問題有了一些新的認識。關於這方面的內容,我將會把它寫在常見問題解答(fqa)中,對此感興趣的可以去看看。

[1]uxe是「換個姿勢學數學」的番外篇序號。

[2] 比如,-1×-1=1,當引數的符號都改變時,引數的數量如果是偶數,那麼輸出值符號反而不變;但是-1×-1×-1=-1,當引數的符號都改變時,引數的數量如果是奇數,那麼輸出值的符號必然改變。

當然,冪運算中也是如此(冪運算是以上運算規律的一種特殊情況),所以用冪函式來表示一下,這種性質就顯露無疑了。

放上這張圖,恐怕沒人再不懂了吧:

(發出來之後,有人問我什麼樣的運算是我說的那樣,然後我這麼告訴他的,並且驕傲的配圖了。所以,加個注釋吧。歡迎繼續找茬或者讚美。)

[3] 只是一種能「自圓其說」的猜測。至於第一次使用的人是怎麼想的,或者是在數學史上,這個命名經歷了怎麼樣的變遷,我是不知道的。

我是心如止水,歡迎你和我換個姿勢學數學。

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