4.5.1 二分查詢
乙個經典的問題：如何在乙個嚴格遞增序列a中找出給定的數x
最直接的辦法是：線性掃瞄序列中的所有元素，如果當前元素恰好為x，則表明查詢成功；如果掃瞄完整個序列都沒有發現給定的數x，則表明查詢失敗，說明序列中不存在數x。這種順序查詢的時間複雜度為o(n)。更好的辦法便是使用二分查詢：二分查詢是基於有序序列的查詢演算法，該演算法一開始令[left,right]為整個序列的下標區間，然後每次測試當前[left,right]的中間位置mid=(left+right)/2，判斷a[mid]與與查詢的元素x的大小：①如果a[mid]==x,說明查詢成功，退出查詢。②如果a[mid]>x，說明元素x在mid位置的左邊，因此往左區間[left,mid-1]繼續查詢。③如果a[mid]#include
using namespace std;
intbinarysearch
(int a,
int left,
int right,
int x)
return-1
;}intmain()
;printf
("%d %d\n"
,binarysearch
(a,0
,n-1,6
),binarysearch
(a,0
,n-1,9
));return0;
}注：如果二分上屆超過int型資料範圍的一半，那麼當欲查詢元素在序列較靠後的位置時，語句mid=(left+right)/2中的left+right就有可能超過int而導致溢位，此時一般使用mid=left+(right-left)/2這條等價語句作為代替以避免溢位。
另乙個問題：如果遞增序列a中的元素可能重複，那麼如何對給定的欲查詢元素x，求出序列中第乙個大於等於x的元素的位置l以及第乙個大於x的元素的位置r，這樣元素x在序列中的存在區間就是左閉右開區間[l,r)
（1）求序列中的第乙個大於等於x的元素位置
①如果a[mid]>=x，說明第乙個大於等於x的元素的位置一定在mid處或mid的左側，應往左子區間[left,mid]繼續查詢，即令right=mid
②如果a[mid]<=x，說明第乙個大於等於x的元素的位置一定在mid處或mid的右側，應往右子區間[mid+1,right]繼續查詢，即令leftt=mid+1
int
lower_bound
(int a,
int left,
int right,
int x)
else
}return left;
}
①如果a[mid]>x，說明第乙個大於x的元素的位置一定在mid處或mid的左側，應往左子區間[left,mid]繼續查詢
②如果a[mid]<=x，說明第乙個大於x的元素的位置一定在mid處或mid的右側，應往右子區間[mid+1,right]繼續查詢
int
upper_bound
(int a,
int left,
int right,
int x)
else
}return left;
}
尋找有序序列第乙個滿足某條件的元素的位置的固定模板
（1）二分區間為左閉右閉的，初值必須能覆蓋解的所有可能取值
int
sovle
(int left,
int right)
else
}return left;
}
（2）二分區間為左開右閉的
int
sovle
(int left,
int right)
else
}return right;
}
const
double eps=le-5;
//精度為10^-5
doublef(
double x)
double
calsqet()
else
}return mid;
}
const
double eps=le-5;
//精度為10^-5
doublef(
double x)
double
calsqet
(double l,
double r)
else
}return mid;
}
#include
#include
using namespace std;
const
double pi=
acos(-
1.0)
;const
double eps=le-5;
doublef(
double r,
double h)
double
solve
(double r,
double r)
else
}return mid;
}int
main()
#include
using namespace std;
intsolve
(int a,
int left,
int right,
int k)
printf
("num=%d\n"
,num);if
(numelse
}return left;
}int
main()
;int n,k,len;
scanf
("%d"
,&k)
; len=
solve
(a,0
,a[2
],k)
;printf
("長度為%d"
,len-1)
;}
接下來研究一下快速冪的迭**法。
對ab來說，如果把b寫成二進位制，那麼b就可以寫成若千二次冪之和。例如13的二進位制是1101,於是3號位、2號位、0號位就都是1,那麼就可以得到13=23 +22+20=8+4+1,所以al3=a8+4+1=a8*a4*a1.
通過上面的推導，我們發現al3可以表示成a8、a4、a1的乘積。很容易想象，通過同樣的推導，我們可以把任意的ab表示成an、… a8、a4、a2、a1中若干項的乘積，其中如果b的進製的i號位為1那麼項a2i就被選中.於是可以得到計算ab的大致思路:令i從0到k枚類b的二進位制的每一位，如果當前位為1，那麼累積a2i.注意到序列an、… a8、a4、a2、a1的前一項總是等於後一項的平方，因此具體實現的時候可以這麼做:
①初始令ans等於1,用來存放累積的結果。
②判斷b的二進位制末尾是否為1 (即判斷b& 1是否為1,也可以理解為判斷b是否為奇數)，如果是的話，令ans乘上a的值。
③令a平方，並將b右移一位(也可以理解為將b除以2)。
④只要b大於0,就返回②。
typedef
long
long ll;
ll binarypow
(ll a,ll b,ll m)
a=a*a%m;
b>>=1;
}return ans;
}
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