深度解析母函式演算法

在數學中，某個序列 (an)n∈n 的母函式（又稱生成函式，英語：generating function）是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。

母函式可分為很多種，包括普通母函式、指數母函式、l級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個型別的乙個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。

母函式，又稱生成函式，是acm競賽中經常使用的一種解題演算法，常用來解決組合方面的題目。

生成函式的定義：g(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+… 稱g(x) 是序列(a0,a1,a2,a3…)的生成函式;

下面咱們以題目解答的形式，來深入的**普通母函式的原理

1. 有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

我們用母函式來解決這個問題

1個1克砝碼可以看成1+x^1,1表示不取，x^1表示取乙個，以下同理
1個2克砝碼可以看成1+x^2
1個3克砝碼可以看成1+x^3
1個4克砝碼可以看成1+x^4

那麼生成函式就是

g(x)=(1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4)

=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10

這個函式中可以看出重量為3克的方案有兩種，重量為7的方案有兩種，重量為10的有1種。

不難發現指數表示重量，係數表示方案數。

2. 求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是乙個，而這裡每種是無限的。

那麼生成函式就是

g(x)=(1+x+x2+x3+…)(1+x2+x4+x6+…)(1+x3+x6+x9+…)

以展開後的x^4為例，其係數為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案數為4；

即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

//程式設計解決
/*author: 熊謙智
題目描述：母函式模板 
涉及演算法：這種母函式是表示從每一類中每次能拿乙個價值是a[i]的元素 可以拿無限多個
*/#include#includeusing namespace std;
const int n = 105, m = 1e6+5;
int dp[m], temp[m];
int main() 
sort(a,a+n); 
// 先用第一種 (最小的一種)初始化 dp陣列 -- 對應母函式的第乙個括號 
for (int i = 0; i < target; i+=a[0]) 
for (int i = 1; i < n; i++) 
}for (int j = 0; j <= target; j++) 
}cout << dp[target] << endl;
}}

①  、首先對dp初始化，由第乙個表示式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把質量從0到n的所有砝碼都初始化為1.
② 、 i從2到n遍歷，這裡i就是指第i個表示式，上面給出的第二種母函式關係式裡，每乙個括號括起來的就是乙個表示式。
③、j 從0到n遍歷，這裡j就是(前面i個表示式累乘的表示式)裡第j個變數，如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的係數，i=2執行完之後變為
（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，這時候j應該指示的是合併後的第乙個括號的四個變數的係數。
④ 、 k表示的是第j個指數，所以k每次增i（因為第i個表示式的增量是i）。
⑤ 、把temp的值賦給dp,而把temp初始化為0，因為temp每次是從乙個表示式中開始的。

例題 :

可以搜藍橋杯包子湊數這題既可以用完全揹包也可以用母函式來解答

nyoj -90-數的劃分

hdu 1085(硬幣問題)

nyoj-588-money

在網上你總能看到該題的不同**實現，例如

// 之所以可以用下面的**實現是因為題目中給出的就是 a[i] = i
// 而當a[i] != i 就不能用下面的**實現
#include using namespace std;
const int _max = 10001; 
// c1是儲存各項質量砝碼可以組合的數目
// c2是中間量，儲存每一次的情況
int c1[_max], c2[_max]; 
int main()
for(i=2; i<=nnum; ++i) // ----- ②
for(j=0; j<=nnum; ++j) // ---- ⑤
} cout << c1[nnum] << endl;
} return 0;
}

3. 設有n個標誌為1,2,…,n的網袋，第i個(i=1,2,…n)網袋裡放有ni個球。不同網袋裡的球是不同的，而同一網袋裡的球則是沒有差別的，認為是相同的。詢問從中取r個球的方案數。

設生成函式

第幾個大括號表示是第幾個袋子 x 的指數表示從中取多少個球

g(x)=(1+x1+x2+…+xn1)(1+x1+x2+…+xn2)…

最後指數為r的那一項的係數就是方案數。

/*
author: 熊謙智
題目描述：
涉及演算法：這種母函式是表示從每一類中可以抽取 1-a[i] 個
*/#include#includeusing namespace std;
const int n = 105, m = 1e6+5;
int dp[m], temp[m];
int main() 
sort(a,a+n); 
// 先用第一種 (最小的一種)初始化 dp陣列 -- 對應母函式的第乙個括號 
for (int i = 0; i <= a[0] && i <= target; i++) 
for (int i = 1; i < n; i++) 
}for (int j = 0; j <= target; j++) 
}cout << dp[target] << endl;
}} /*// 表示有3個網袋 從中選取10個求 共有多少總不同的方法 
3 10 
4 2 9
*/

總結一下，生成函式大多用來解決有限或無限物體的組合方案。

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