Floyd Warshall 多源最短路演算法

我們之前介紹過dij

kstr

adijkstra

dijkst

ra和b el

lman

−for

d/sp

fabellman-ford/spfa

bellma

n−fo

rd/s

pfa演算法,這些演算法解決的都是單源最短路的問題,那麼有沒有乙個演算法,可以計算出任意兩點之間的最短路呢?答案是–flo

yd−w

arsh

allfloyd-warshall

floyd−

wars

hall

.和所有最短路演算法一樣,flo

yd−w

arsh

allfloyd-warshall

floyd−

wars

hall

演算法也需要借助邊的"鬆弛"操作來縮短最短路徑,不同的是,對於每一條邊,flo

yd−w

arsh

allfloyd-warshall

floyd−

wars

hall

試圖用剩餘的所有頂點作為中間點去鬆弛,這樣得到的就會是任意兩點間的最短路徑.關於這個演算法的正確性,簡單說明一下:

假設兩個點之間沒有邊,通過中間點建立一條邊,顯然這兩點的最短路縮短了;

假設兩個點有邊,通過若干個中間點縮短了最短路徑,則設該圖含有v

vv個頂點,可得兩點之間最多通過v−2

v-2v−

2個中間點縮短最短路徑,此時路徑包含v−1

v-1v−

1條邊,顯然在不包含負環的圖中,最短路不可能包括比這更多的邊數,因此最多通過v−2

v-2v−

2個點鬆弛;

在圖中若存在負環,則2不成立,但此時也會不存在最短路徑,因此在有解的情況下1,2始終正確.

演算法通過鄰接矩陣可以簡單地實現:

#include

#define maxn 10000
#define inf 0x3f3f3f3f
using
namespace std;
int e[maxn]
[maxn]
;void
init
(int n)}}
void
floyd_warshall
(int n)}}
}int
main()
floyd_warshall
(n);
for(
int i =
0; i <= n; i++
) cout<
return0;
}

因為要方便查詢到任意兩點之間的所有邊,所以flo

yd−w

arsh

allfloyd-warshall

floyd−

wars

hall

演算法最理想的實現方式就是鄰接矩陣,如果要用鄰接表實現,需要有兩個鄰接表,乙個是入邊表,乙個是出邊表,並且要維護每乙個公共中間點的入邊和出邊的關係,這樣的寫法不但複雜,而且沒有意義,時間和空間都沒有太大的提公升,因此只介紹鄰接矩陣實現.

顯然,flo

yd−w

arsh

allfloyd-warshall

floyd−

wars

hall

的時間複雜度是o(v

3)o(v^3)

o(v3

),這是乙個很高的時間複雜度,但是考慮到求得任意兩點之間的最短路徑,這個時間複雜度是可以接受的.

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