使用線性篩以及素數篩求出某範圍內的所有素數

我們規定：若乙個數字的因數只有1和它本身，那麼這個數就是素數（1除外，所以最小的素數是2）

1 暴力求解

#include
#include
using
namespace std;
#define max_n 1000 
//表示求1000以內(包含1000)的所有素數
vector<
int> prime;
//用於儲存所有的素數
bool
judge
(int n)
return
true;}
intmain()
} cout <<
"素數個數為："
<< cnt << endl;
//將prime中的素數輸出
vector<
int>
::iterator it;
int tmp =0;
for(it = prime.
begin()
; it != prime.
end(
); it++
)return0;
}

注：甚至還有小夥伴使用更加暴力的做法，也就是在judge()函式中，for迴圈從2到n，而不是從2到n

\sqrt

n。其實這樣是完全沒有必要的。

我們假設: n = a * b (假設a < b)，那麼此時一定有：a <= n

\sqrt

n並且 b => n

\sqrt

n，否則的話，若a b均小於或者a b均大於n

\sqrt

n，那麼他們的乘積一定不等於n。因此若for迴圈從2到n

\sqrt

n此時還沒有乙個數，能夠使 n % i == 0 成立，那n肯定是素數，從n

\sqrt

n到n這部分數字完全是沒有必要判斷。

2 使用素數篩

2.1 素數篩的基本思想

若某乙個數字為素數，那麼該數字的整數倍(1倍除外)肯定是合數。

為此我們引入乙個陣列 prime[max_n + 5] = ，其中max_n表示求解的是max_n以內的所有素數，陣列初始化為0。並且我們規定若 prime[i] == 0，則 i 是素數，否則 i 為合數。

2.2 對應**如下

#include
using
namespace std;
#define max_n 1000
int prime[max_n +5]
=;void
init()
}//為了後面操作方便，我們從prime[1]向後依次存放找到的素數
for(
int i =
2; i <= max_n; i++)}
intmain()
return0;
}

注：本實驗**的核心就是init()函式中的兩個for迴圈巢狀。總的來說我們就是要把素數的整數倍(1倍除外)標記為1。但是細心的小夥伴會問，這樣的話，裡層for迴圈 j 應該從2∗i

2 * i

2∗i開始呀，為什麼是 i 的平方開始呢？

舉個例子吧，假設現在 i = 5，prime[5] = 0，因此我們進入裡層迴圈，如果 j 從 2∗i

2 * i

2∗i開始，也就是 2 * 5開始，標記prime[10] = 1。這樣確實可以，但是在prime[2] = 0的時候，也就是2為素數，此時我們已經把所有2的倍數全部置成1了，也就是說prime[10]早已經被標記為1。此時若再標記，不就是重複操作了嗎！！！

2.3 素數篩演算法的時間以及空間複雜度

空間複雜度： o(n)

時間複雜度： o(n * log(log(n))) //時間複雜度不太確定，回頭我再看看

3 使用線性篩

3.1 素數篩的不足

舉個例子，對於數字30而言，在素數篩中它肯定被標記為1，但是它被標記為1的次數，有幾次？，僅僅只有一次嗎？答案顯然不是！！

數字30 被2標記了一次，被3標記了一次，被5標記了一次，也就是說30這個數字一共被標記了3次。

「不對不對」，可能會有小夥伴問，你之前在素數篩中不是存在過重複標記嗎？當時你不是把內層迴圈從i * i 開始，減少了重複標記呀！！

對，但這只是減少標記，我們可以順著程式流程走一遍：2是素數，所以我們從4開始，把所有2的倍數全部標記為1；3是素數，所以我們從9開始，把所有3的倍數全部標記為1；5也是素數，因此我們從25開始，把所有5的倍數全部置為1。顯然在內層迴圈中，30被標記了3次。

所以有沒有更好的方法，可以每乙個數字只會被標記一次呢？答案就是：線性篩！

3.2 線性篩的基本思想

在素數篩中我們根據素數來標記素數的整數倍，但線性篩中我們使用其他的數。

我們使用整數m，來標識整數n，此時m和n存在如下關係：

設 p 是 n 的最小質因數

n = p * m

p 比數字m的最小質因數還要小

此時我們可以標記 m * p』 (p』是小於p的所有素數的集合中的元素) 位置上的數字

為了徹底明白，大家可以手寫模擬2到30的標記過程，若其中有乙個數字被標記了兩次或以上，那麼肯定有**出錯了，自己再回頭看看基本思想。

3.3 線性篩**實現

#include
using
namespace std;
#define max_n 1000
int prime[max_n +5]
=;void
init()
}}intmain()
return0;
}

注：**實現時，用原陣列從prime陣列1號位開始向後儲存素數, prime[0]儲存當前素數的個數。程式會有點難理解（畢竟自己是過來人，知道不容易），但還請仔細研讀。

3.3 線性篩演算法的時間以及空間複雜度

線性篩演算法絕不僅僅只用來求解素數問題，它更多的是為用作一種演算法框架，在許多其他的演算法中也會用到，切記！！！！！！！！

這是自己第一次在csdn上寫部落格，雖然自己之前用過markdown格式編輯器(typora)，但是兩者之間的操作還是存在區別的，不過還好，不會的可以上網搜尋，畢竟是自己的**作，值得留念！

貶低自己的話就不想再說了，知道自己的不足，才會邁向成功。自己也不想立flag，只想說：「不求自己一定要有多麼的努力，但求自己可以一步乙個腳印，每一天都在進步」，加油，路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索，與君共勉！

使用線性篩以及素數篩求出某範圍內的所有素數

素數篩法（素數篩線性篩）

素數篩和線性篩

素數線性篩

使用線性篩以及素數篩求出某範圍內的所有素數

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素數線性篩

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