《初等數論及其應用》第一章 整數（1）
本節主要介紹了數集合、整數序列的概念。
每個非空的正整數集合都有乙個最小元。
良序性質可以作為定義正整數集合的公理，或者由一組公理推導出來。我們說正整數集合是良序的，但是所有整數的集合不是良序的，因為在有些整數集合中沒有最小的元素，如負整數的集合，小於100的偶數集合和全體整數的集合。
定義：如果存在整數p和q≠0，使得r=p/q，則稱實數r是有理數。如果r不是有理的，則稱為無理數。
例1.1-22/7，0=0/1，2/17和1111/41都是有理數。
定理1.1：
√2 是無理數。
定義：數α稱為代數數，如果它是整係數多項式的根；也就是說，α是代數數，如果存在整數a0，…，an使得anαn+an-1αn-1+……+a0=0.如果數α不是代數數，稱之為超越數。
例1.2無理數 √2 是代數數，因為它是多項式x2-2=0的根。
定義：實數x的最大整數記為[x]，是小於或等於x的最大整數，即[x]是滿足[x]≤x[x]+1的整數。
例1.3[5/2]=2 ,[-5/2]=-3 ,[π]=3 ,[-2]=-2 ,[0]=0 .
註記 最大整數函式也被稱為取整函式。除此之外，還有上取整函式。
例1.4如果n是整數，則對於任意實數x，都有[x+n]=[x]+n。
定義：實數x的分數部分記為，是x於[x]的差，即=x-[x]。
由於[x]≤x＜[x]+1,從而對任意實數x，0≤=x-[x]<1,因為x=[x]+,所以x的最大取整也叫做x的取整數部分。
例1.5=5/4-[5/4] = 5/4-1 =1/4. = -2/3-[-2/3] = -2/3-(-1) = 1/3.
定理1.2：
如果把k+1或者更多的物體放入k個盒子中，那麼至少有乙個盒子中有兩個或者更多的物體。
定理1.3：
如果α是乙個實數，n是乙個正整數，則存在整數a和b，1≤a≤n，使得| aα - b | ＜ 1/n。
例1.6假定α=√2 且 n=6.
我們發現1 × √2 ≈ 1.414 ，2 × √2 ≈ 2.828 ，3 × √2 ≈ 4.243 ，4 × √2 ≈ 5.657 ，5 × √2 ≈ 7.071 ，6 × √2 ≈ 8.485 .在這些數中，5 × √2的分數部分最小。我們看到 | 5 × √2 - 7 | ≈ | 7.071 - 7 | = 0.071 ≤ 1/6. 所以如果 α = √2 ，n = 6，那麼我們可以取 a = 5，b = 7，從而使得 |aα - b | ＜ 1/n。
序列是一列數a1，a2，a3，… 。序列中的項可以用對映f(i) = ai跟正整數集合建立起一一對映。
定義：等比數列是形式為a，ar，ar2,ar3,…的序列，其中初始項a和公比r都是實數。
注：數論中的乙個常見問題是如何尋找構造序列的通項公式或者規則，即使僅有很少的幾項是已知的（例如尋找第n個三角數1+2+3+…+n的公式）。儘管乙個序列的幾個初始項不能決定這個序列，但是知道前幾項有助於我們猜測通項公式或者規則。
定義：等差數列即為形式為a，a+d，a+2d，…，a+nd，…的序列。
例1.7猜測an的公式，這裡序列的前八項是5，11，29，83，245，731，2189，6563.
我們注意到每一項都接近前一項的3倍，暗示著在an的通項公式中有項3n。對於n=1，2，3，…，整數3n分別為3，9，27，81，243，729，2187，6561.比較這兩個序列，我們會發現產生這個序列的公式為an=3n+2。
例1.8猜測an的公式，這裡序列的前10項是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55.從不同的角度觀察這個序列，我們注意到這個序列中前兩項之後的每一項都是它之前兩項的和。也就是說，我們發現an=an-1+an-2,3≤n≤10.這是乙個遞迴定義序列的例子，將在1.3節討論。在這個例子中列出的項時斐波那契數列的前幾項，這個序列將在1.4節中討論。
定義：乙個集合可數，如果它是有限的或者是無窮的但與正整數集合之間存在乙個一一對映。如果乙個集合不是可數的，則稱為不可數。
乙個無窮集合時可數的當且僅當其中的元素可以排成乙個由正整數標記的序列。為了看到這一點，只要注意從正整數集合到乙個集合s的一一對映f其實就是把集合在的元素列成序列a1，a2，…，an，…，其中ai=f(i).
例1.9整數集合是可數的，因為整數可以被列出來，由0開始，接下來是1和-1，2和-2，如此繼續下去，這樣產生乙個序列0，1，-1，2，-2，3，-3，…，這裡a1=0，a2n=n，a2n+1=-n，n=1，2，…。
定理1.4：
有理數集合是可數的。
第一章1 解釋
補全 如下 sum int a,unsigned len main printf lf sum a,0 sum int a,unsigned len 此處main函式中定義了陣列a，擁有3個元素。除錯時第12行sum累加運算處設定斷點 visual studio 中快捷鍵為f9 然後除錯執行 vis...
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