有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是w[i]，價值是v[i]，求將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
定義陣列
dp[i]
[j] # 代表前i個商品，放入乙個容量為j的揹包，所獲得的最大價值
# 如果要求恰好放滿揹包，則陣列初始化為 -inf
dp =[[
-inf]
*(amount +1)
for _ in range
(n)]
# 如果要求恰好放滿揹包，則陣列初始化為 0
dp =[[
0]*(amount +1)
for _ in range
(n)]
一、無論初始化是如何進行的，但是我們每次迭代商品的時候：dp[i][0]一定要等於0,因為放滿容量為0的揹包，價值肯定是0。第
二、動態陣列的長度是(容量+1）（要考慮容量為0的情形)。
轉移方程
for i in range
(n+1
): # 初始化工作對i==
0的時候已經做了處理，所以這裡可以不用再考慮。
for j in range
(w[i]
,v+1
): # 正序
f[i]
[j]=
max(f[i−1
][j]
,f[i−1
][j−w[i]
]+v[i]
)
f[i]
[j]=
max(f[i−1
][j]
,f[i−1
][j−w[i]
]+v[i]
)
f[i][j]只和上一行正上方和上一行的左上方有關。如果我們只用一行資料正序遍歷的話，我們會將上一行左上方的資料先覆蓋掉。所以我們採用逆序遍歷。
def package_01
(size, values, weights)
:# dp[j]代表裝滿容量為j的揹包能產生的最大價值
import numpy
# 如果不要求完全裝滿
dp = numpy.
array([
0]*(size +1)
) # 如果要求完全裝滿
# dp = [-float("inf")] * (size + 1)
# 初始化,無論是要求裝滿還是不裝滿，初始化規則一樣，只是如果要求不裝滿，已經是0，可以省略初始化條件
dp[0]
=0for i in range
(len
(values)):
for j in range
(size, weights[i]-1
,-1)
: # 逆序
dp[j]
=max
(dp[j]
, dp[j - weights[i]
]+ values[i]
)return dp[size]
n種商品和乙個容量為v的揹包。第i件物品有無數件，且費用是w[i]，價值是v[i]，求將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
完全揹包和01揹包的邏輯基本類似，但是由於物品可以任意次取，所以我們每個物品取用多少次 取決於當0<=k*w[i]<=j時，f[i−1][j−k*w[i]]+k*v[i]最大。
f[i]
[j]=
max(f[i−1
][j−k*w[i]
]+k*v[i])0
<=k*w[i]
<=j
k =
1while k * weights[i]
<= j:
dp[i]
[j]=
max(dp[i]
[j], dp[i -1]
[j - k * weights[i]
]+ k * weights[i]
) k +
=1
def package_total
(size, values, weights)
: import numpy
# 如果不要求完全裝滿
dp = numpy.
array([
[0]*
(size +1)
for _ in range
(len
(values))]
) # 初始化,無論是要求裝滿還是不裝滿，初始化規則一樣，只是如果要求不裝滿，已經是0，可以省略初始化條件
dp[0]
[0]=
0for i in range
(len
(values)):
for j in range
(weights[i]
, size +1)
: k =
1while k * weights[i]
<= j:
dp[i]
[j]=
max(dp[i]
[j], dp[i -1]
[j - k * weights[i]
]+ k * weights[i]
) k +=1
return dp[-1
][-1
]
def package_total
(size, values, weights)
:# dp[j]代表裝滿容量為j的揹包能產生的最大價值
import numpy
# 如果不要求完全裝滿
dp = numpy.
array([
0]*(size +1)
) # 如果要求完全裝滿
# dp = [-float("inf")] * (size + 1)
# 初始化,無論是要求裝滿還是不裝滿，初始化規則一樣，只是如果要求不裝滿，已經是0，可以省略初始化條件
dp[0]
=0for i in range
(len
(values)):
for j in range
(weights[i]
, size +1)
: # 正序
dp[j]
=max
(dp[j]
, dp[j - weights[i]
]+ values[i]
)return dp[size]
Leetcode揹包問題
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