CSP 差分約束系統和最短路求解

題目重述

思路概述

題目原始碼（c++）

差分約束系統，是一種不等式系統，形式比較固定。具體的形式如下：

對於差分約束系統一般有兩種形式：

1、xi-xj<=ck，求解的上限–>即xi-xj=ck的情況

2、xi-xj>=ck，求解的下限–>即xi-xj=ck的情況

對這兩種情況，可以使用相同的轉換思路，將xj移到不等式右側後可以得到xi<=ck+xj求上限和xi>=ck+xj求下限，熟悉最短路的鬆弛操作的同學就會發現，這個式子和鬆弛後得到的條件是一模一樣的，也就是：將xi視為dis[i]，將xj視為dis[j]，ck視為邊長，利用最短路演算法來求解差分約束系統

進過轉換後，具體的實現思路如下：

1、將每乙個約束條件（例xi-xj<=ck）轉換成一條有向邊（j,i,ck），並存入圖中

2、對生成好的圖跑最短路演算法（由於ck的值可能為負值，採用spfa演算法比較合理）

3、令dis[1]=0，得到的xi=dis[i]即為差分約束系統的一組解

兩種特殊情況的處理：

1、出現負環，出現負環，說明某些點的dis[i]=-inf，則表示式變為xi-x1<=-inf，我們無法找到這樣的乙個解，說明該差分約束系統無解。

2、出現某點不可達，說明某點滿足dis[i]=inf，則表示式變為xi-x1<=inf，該條件在任何取值下都滿足，說明差分約束系統對xi無明確約束，可以取任何值。

給定乙個數軸上的 n 個區間，要求在數軸上選取最少的點使得第 i 個區間 [ai, bi] 裡至少有 ci 個點

輸入第一行乙個整數 n 表示區間的個數，接下來的 n 行，每一行兩個用空格隔開的整數 a，b 表示區間的左右端點。1 <= n <= 50000， 0 <= ai <= bi <= 50000 並且 1 <= ci <= bi - ai+1。

輸入樣例

5

3 7 3

8 10 3

6 8 1

1 3 1

10 11 1

輸出樣例：

由於題目要求最少點滿足選點條件，看到這個題目的第一反應可能會想到是一道貪心演算法的題目，且這道題和貪心問題裡的區間選點問題十分相似。

但如果使用貪心演算法，對多個點的貪心並不容易實現，可能需要比較複雜的模擬。這裡介紹一種利用差分約束求解這道題的做法。

我們使用sum[i]來表示從源點0開始，選的點個數。（雖然題目中說明點的範圍是1-5e4，但如果從sum[1]開始我們是無法衡量出1號點是否被選中，所以使用0號點開始操作比較方便）

條件a b a(a到b閉區間內選擇a個點)可以轉換為sum[b]-sum[a-1]>=a，通過模擬發現該型別的條件與上述的差分約束系統十分相似，可以使用差分約束來巧妙求解。

但是只有這些邊條件是不夠的，因為實際意義，每個點只能是選擇或者不選擇兩個可能，我們可以得出如下的條件0<=sum[i]-sum[i-1]<=1，對圖中的每兩點進行連線邊即可。由於求的是最少點，所以需要將所有約束條件轉換成xi-xj>=ck的形式。在轉換完成後的圖中跑一遍最長路即可得出解。

題目所求的最少點，也就是sum[maxi]的值。

#include

#include
#include
using
namespace std;
const
int n=
5e4+5;
struct edge
edges[n]
;int edge_cnt;
int point_cnt;
int head[n]
;void
init()
void
add(
int x,
int y,
int value)
int vis[n]
;int dis[n]
;queue<
int> q;
void
spfa()
vis[0]
=1,dis[0]
=0; q.
push(0
);while
(!q.
empty()
)}}}
}int
main()
point_cnt=max_number;
for(
int i=
1;i<=point_cnt;i++
)spfa()
; cout<
;return0;
}

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