leetcode 動態規劃

題目：給定乙個包含非負整數的 m x n 網格，請找出一條從左上角到右下角的路徑，使得路徑上的數字總和為最小。每次只能向下或者向右移動一步。

示例:

輸入:[

[1,3,1],

[1,5,1],

[4,2,1]

]輸出: 7

解釋: 因為路徑 1→3→1→1→1 的總和最小。

思路：定義一維陣列dp用於記錄起始點到某一點最小距離，陣列長度為列長。除了dp[0]的值為0以外，其餘的都為最大值integer.max_value。

遍歷二維陣列：

1）在第一行（i = 0）中，起點到各個點的最短距離的方向就是一直往右走；

2）在第其他行（i > 0）中，由於只能往右或者下方向走，則起點到grid[i][0]的距離只能是一直往下；而對於其他列的點grid[i][j] (j > 0)，則需要去比較上乙個節點dp[j - 1]與本節點dp[j]之間的大小，所謂的上個節點dp[j - 1]是指左邊的節點，而dp[j]]是指上邊的節點。

舉例說明：對於某一節點(2, 4)，dp[3]是指起點到(2,3)的最小距離，而dp[4]是指起點到(1, 4)的最小距離。

public int minpathsum(int grid) 
dp[0] = 0;
for(int i = 0; i < row; i++) else }}
return dp[col - 1];
}

題目：給定乙個整數 n，求以 1 ... n 為節點組成的二叉搜尋樹有多少種？

示例:

輸入: 3

輸出: 5

解釋:給定 n = 3, 一共有 5 種不同結構的二叉搜尋樹:

思路：假設n個節點構成的搜尋樹個數為dp(n)，以n為根節點的搜尋樹個數為f(n)。則可知：

1）dp[n] = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n)

2）當i為根節點時，左子樹節點為[1, i - 1]，總共i - 1個節點；右子樹節點為[i + 1, n]，總共n - i個節點。因此f(i) = dp(i - 1) * dp(n - i)。

由上面兩個式子可得：dp(n) = dp(0) * dp(n - 1) + dp(1) * dp(n - 2) + ... + dp(n - 1) * dp(0)。

舉例說明：當n=3時，dp(3) = dp(0) * dp(2) + dp(1) * dp(1) + dp(2) * dp(1)。即式子為dp(i) = dp(j) * (i - j - 1) 【j屬於[0, i)】

public int numtrees(int n) 
}return dp[n];
}

題目：給你乙個整數陣列 nums ，請你找出陣列中乘積最大的連續子陣列（該子陣列中至少包含乙個數字）。

示例1:

輸入: [2,3,-2,4]

輸出: 6

解釋: 子陣列 [2,3] 有最大乘積 6。

示例2:

輸入: [-2,0,-1]

輸出: 0

解釋: 結果不能為 2, 因為 [-2,-1] 不是子陣列。

思路：

遍歷陣列，每個位置的最大連續子陣列的最大乘積有三種選擇：

（1）選擇自己本身nums[i]；

（2）選擇本身與之前記錄的最大值相乘：curmax * nums[i]；

（3）選擇本身與之前記錄的最小值相乘：curmin * nums[i]，因為nums[i]可能為負數，與同樣可能為負數的curmin 相乘可能得到更大值。

public int maxproduct(int nums) 
return res;
}

乙個小偷計畫偷竊沿街的房屋。每間房內都藏有一定的現金，但相鄰的房屋在同一晚上被小偷闖入，系統會自動報警。

給定乙個代表每個房屋存放金額的非負整數陣列，計算你在不觸動警報裝置的情況下，能夠偷竊到的最高金額。

示例 1:

輸入: [1,2,3,1]

輸出: 4

解釋: 偷竊 1 號房屋 (金額 = 1) ，然後偷竊 3 號房屋 (金額 = 3)。偷竊到的最高金額 = 1 + 3 = 4 。

思路：定義乙個陣列dp表示前i個房子中能搶到的最大現金：、

public int rob(int nums) 
return dp[length - 1];
}

題目：在乙個由 0 和 1 組成的二維矩陣內，找到只包含 1 的最大正方形，並返回其面積。

示例:

輸入:

1 0 1 0 0

1 0 1 1 1

1 1 1 1 1

1 0 0 1 0

輸出:4

思路：假設定義乙個陣列dp[row][col]，它表示以(i, j)為右下角所構成的最大正方形邊長。

（1）初始時，即i = 0或j = 0時，dp[i][j] = matrix[i][j] - '0'。在第一行或第一列的元素為右下角時，它們構成的正方形就是他們本身。

（2）對於其他行和列（i，j），若dp[i][j] = 1，則它們的值dp[i][j]依賴於它的上方（i，j - 1），它的左方（i - 1，j），它的左上方（i - 1，j - 1），若這三個值剛好相等，假設為x，那麼dp[i][j] = x + 1；若三個值不相等，那麼如果把三個正方形合起來，就會缺少某個角落，因此只能選三個中最小的那個，再加上1。

（3）最終得到的最大值maxcnt * maxcnt就是正方形面積。

上面我們定義的是二維陣列，同樣我們可以改為一維陣列dp[col]。每次遍歷時，我們用乙個變數topleft來記錄dp[j]，這樣在當matrix[i][j]為1時，topleft表示的就是左上方或者左邊的值。

public int maximalsquare(char matrix) else 
maxcnt = math.max(dp[j], maxcnt);}}
return maxcnt * maxcnt;
}

題目：給定不同面額的硬幣 coins 和乙個總金額 amount。編寫乙個函式來計算可以湊成總金額所需的最少的硬幣個數。如果沒有任何一種硬幣組合能組成總金額，返回 -1。

示例 1:

輸入: coins = [1, 2, 5], amount = 11

輸出: 3

解釋: 11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

輸入: coins = [2], amount = 3

輸出: -1

思路：定義陣列dp[amount + 1]，dp[i]表示湊成金額i 所需的最少硬幣個數。遍歷所持有的硬幣值num，可以得出：

dp[i] = min(dp[i], dp[i - num] + 1

public int coinchange(int coins, int amount) }}
return dp[amount] == amount + 1 ? -1 : dp[amount];
}

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