最大子段和問題

給定n個整數（可能為負整數）a1,a2,a3……an.求形如 ai,a(i+1),……，aj i,j=1,……n,i<=j

的子段和的最大值。當所有的整數均為負整數的時候定義其最大子段和為0，例如：當（a1,a2,a3,a4,a5,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)時，最大子段和為 i=2,j=4(下標從1開始)。

列舉所有可能的起始下標（i=1,2,3,……，n）和終止下標（j=i,i+1……,j）,累加i到j所有元素的和，並從中選取最大的子段和。

partsum()
i=j=1;
t=max_sum
(a,n,
&i,&j)
;print
("the most sum of section is"
,t);
print
("starting point is"
,i);
print
("end point is"
,j);
}max_sum
(int a,
int n,
int*best_i,
int*best_j)
if(this_sum>sum)}}
return sum;
}

如果將所給的序列a[1:n]分為長度相同的兩段a[1:n/2]和a[(n/2)+1:n]，分別求出這兩段的最大子段和，則a[1:n]的最大子段和有三種情形。

（1）a[1:n]的最大欄位和與a[1:n/2]的最大欄位和相同

（2）a[1:n]的最大欄位和與a[(n/2)+1:n]的最大欄位和相同

（3）a[1:n]的最大子段和為a[i:j],且1<=i<=(n/2),(n/2)+1<=j<=n

（1）和（2）可遞迴求得，對於（3）而言，序列中的元素a[(n/2)]與a[(n/2)+1]一定在最大欄位中。因此，可以計算出a[i：(n/2)]的最大值s1;並計算出a[(n/2)+1:j]中的最大值s2.則s1+s2即為（3）的最優值。

partsum()
i=j=1;
t=max_sum
(a,n,
&i,&j)
;print
("the most sum of section is"
,t);
print
("starting point is"
,i);
print
("end point is"
,j);
}int
max_sum
(int a,
int n)
max_sub_sum
(int a,
int left,
int right)
else
}else
} s2=0;
rights=0;
for(i=center+
1;i<=right;i++)}
if(s1+s2if(s1+s2return s1+s2;
}}

用動態規劃法解決問題的思路很簡單，就是通過開闢儲存空間，儲存各個子問題的計算結果，從而避免重複的計算。其實就是用空間效率去換取時間效率。

記sum[i]為a[1]~a[i]的最大欄位和，記this_sum[i]為當前子段和。

this_sum[i]從i=1開始計算，當this_sum[i-1]>=0時，前面欄位的和對總和有貢獻，所以要累加當前元素的值；當this_sum[i-1]<0時，前面欄位的和對總和沒有貢獻，要重新開始累加，以後的子段和從i開始。sum[i]在記錄a[1]~a[i]的最大欄位和，不斷儲存新得到的較大的this_sum[i]。

初值：this_sum[0]=0； i=1,2……n時

this_sum[i]=this_sum[i-1]+a[i] ——> 當this_sum[i-1]>=0

this_sum[i]=a[i] ——> 當this_sum[i-1]<0

相應地sum[i]的遞推式如下：a[0]=0,i=1,2……n時，

sum[i]=sum[i-1] ——> 當this_sum[i]<=sum[i-1]

sum[i]=this_sum[i] ——> 當this_sum[i]>sum[i-1]

partsum()
i=j=1;
t=max_sum
(a,n,
&i,&j)
;print
("the most sum of section is"
,t);
print
("starting point is"
,i);
print
("end point is"
,j);
}max_sub_sum
(int a,
int n,
int*best_i,
int*best_j)
else
if(this_sum[j]
<0)
}return sum;
}

在上述演算法的空間上進行優化，儲存a[1]~a[j]的當前子段和的this_sum及當前最大子段和的sum都不必設定為n個元素的陣列，用普通變數就可以實現了。因為在遞推的過程中，只需儲存乙個值就足夠了。

partsum()
i=j=1;
t=max_sum
(a,n,
&i,&j)
;print
("the most sum of section is"
,t);
print
("starting point is"
,i);
print
("end point is"
,j);
}max_sub_sum
(int a,
int n,
int*best_i,
int*best_j)
else
if(this_sum<0)
}return sum;
}

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