《演算法設計分析》結課報告
總覽在本學期的演算法課程學習中，主要學習了以下內容：
演算法的漸進分析 分治策略 隨機化演算法
統計演算法 排序問題 動態規劃 貪心演算法
圖演算法：基本圖演算法，最小生成樹，單源最短路徑，所有結點對的最短路徑問題，以及最大流
通過對以上內容的學習，讓我對大二上的資料結構課程內容有了進一步的理解，同時也對演算法設計有了更深的體悟。
內容概述
演算法：演算法可以看成用於求解良說明的計算問題的工具。一般來說，問題陳述了期望的
輸入/輸出關係，而演算法則描述乙個特定的計算過程來實現該輸入/輸出關係。
演算法的漸進分析
當輸入規模足夠大，使得只有執行時間的增長量級有關時，我們要研究演算法的漸進效率，也就是說，我們關心當輸入規模無限增加時，在極限中，演算法的執行時間如何隨著輸入規模的變大而增加 。對於演算法的漸進分析，我們有以下漸進記號：
θ:θ(g(n))=，這裡的θ(g(n))是乙個集合，g(n)是f(n)的乙個漸進緊確界。
ο: ο(g(n))=，此時只有乙個漸進上界g(n),我們用這個記號來描述上界，那麼可以用它來描述最差執行時間，關於演算法在每個輸入上的執行時間，我們也有乙個界，例如，執行時間為o(n²)，意思是存在乙個o(n²)的函式f(n)，對於n的所有值，不管選擇什麼特定規模的規模為n的輸入，其執行時間的上界都是f(n),也就是說最壞情況執行時間為f(n)。
ω：與o相對，這個符號提供了漸進下界，ω(g(n))=,不管選擇什麼規模為n的輸入，只要n足夠大，對那個輸入的執行時間至少為g(n)的常量倍
ω：ω(g(n))=；其中的乙個子集, k是某個小於n的整數，並且設p為其中權重最小的路徑(路徑p是簡單路徑)。
演算法利用了路徑p和從i到j之間中間結點均取自集合的最短路徑之間的關係。該關係依賴於結點k是否是路徑p上的乙個中間結點。如果結點k不是路徑p上的中間結點，則路徑p上的所有中間結點一定屬於集合;所以從結點i到j的中間結點取自的最短路徑也是結點i到j的中間結點取自的最短路徑。如果結點k是路徑p上的中間結點，則路徑p可以表示為ikj；其中ik為路徑p1，kj為路徑p2.顯然，路徑p1上的所有中間結點必定在中，自然，p1是從結點i到k的中間結點位於的最短路徑。對於p2實際上也是同理，很容易退出，p2也是從結點k到j上的中間結點位於的一條最短路徑。
得到遞迴解：
典型問題分析子串行：給定乙個序列x=，另乙個序列z=，若存在乙個嚴格遞增的x的下標序列對所有的1,2,3,…,k，都滿足x(ik)=zk，則稱z是x的子串行。
公共子串行：給定兩個序列x和y，如果z既是x的子串行，也是y的子串行，那麼z是x和y的公共子串行。
求解x=（x1,x2…….xm）和y=（y1,y2……yn）的最長公共子串行：
如果採用暴力法，那麼就要窮舉出x的所有子串行，對每個子串行都檢查它是否是y的子串行，記錄找到的最長子序列，執行時間為指數階，對於較長的序列是不適用的。
設x=，y=為兩個序列，z=是他們的任意公共子串行
經過分析，我們可以知道：
1、如果xm = yn，則zk = xm = yn 且 zk-1是xm-1和yn-1的乙個lcs
2、如果xm != yn 且 zk != xm，則z是xm-1和y的乙個lcs
3、如果xm != yn 且 zk != yn，則z是x和yn-1的乙個lcs
所以如果用乙個二維陣列c表示字串x和y中對應的前i，前j個字元的lcs的長度話，可以得到以下公式：
p1表示x的前 i-1 個字元和y的前 j 個字元的lcs的長度
p2表示x的前 i 個字元和y的前 j-1 個字元的lcs的長度
p表示x的前 i-1 個字元和y的前 j-1 個字元的lcs的長度
p0表示x的前 i 個字元和y的前 j 個字元的lcs的長度
如果x的第 i 個字元和y的第 j 個字元相等，則p0 = p + 1
如果x的第 i 個字元和y的第 j 個字元不相等，則p0 = max(p1,p2)
根據上面的公式，我們很容易就可以寫出遞迴計算lcs問題的程式，通過這個程式我們可以求出各個子問題的lcs的值，時間複雜度為o(m*n)，此外，為了求解最優解本身，我們好需要乙個表b，b[i，j]記錄使c[i，j]取值的最優子結構。
從方法的實現中可以看出計算lcs的過程中時間複雜度是ο（mn），空間複雜度也是ο（mn）。在構造最長公共子串行的過程中時間複雜度為ο（m+n）；但是我們可以不適用表b，我們可以直接利用表c的資訊構造lcs； 因為c[i，j]的值只依賴於三項：c[i-1，j]，c[i，j-1]，c[i-1，j-1]。這樣就為記憶體節約了乙個ο（mn）空間。但是計算lcs的輔助空間並未減少，因為表c的空間複雜度依然是ο（mn）。
比如：x=(a,b,c,b),y=(b,d,c,a)
因此可以得到這兩個序列的最長公共子串行的長度為2。
*活動選擇問題
問題描述：假設有乙個n個活動的集合s=，這些活動使用同乙個資源，並且這個資源在某個時刻只能供乙個活動使用，每個活動都有乙個開始時間si,結束時間fi，如果被選中，活動ai發生時間區間[si,fi]期間，如果兩個活動的時間區間不重疊，則稱他們相容，我們希望選出乙個最大相容活動集，假設活動按照結束時間的單調遞增順序排序：f1≤f2…. ≤fn
從上面可見，我們觀察可得相容子集有:,但是這個並不是最大相容子集，因為也是這個活動的最大相容子集，於是我們將活動選擇問題描述為：給定乙個集合s=s=,在相同的資源下，求出最大相容活動的個數。
動態規劃解法：
sijsij表明是在aiai之後ajaj之前的活動集合
這裡子問題數量為o(n2)，每乙個子問題有o(n)種選擇，於是動態規劃的時間代價為o(n3)。
貪心選擇：
選取乙個活動，使得去掉這個活動以後剩下的資源最多，即選擇占用時間fi-si最小的乙個，或者選擇最早結束的活動，這裡我們選擇第二種方案，每次選擇子問題最早結束的活動加入到最優解中。證明選擇的正確性：
令ak是sk的乙個最大相容子集，aj是ak中最早結束的活動，將aj從ak中去掉得到ak-1,它也是乙個相容子集，假設ai是sk中最早結束的活動，那麼有fi≤fj,將活動ai張貼到ak-1中，得到乙個新的相容子集ak1,則|ak|==|ak1|,於是ak1也是sk的乙個最大相容子集
因此我們可以反覆選擇最早結束的活動，保留與此活動相容的活動，重複，直到不再有剩餘活動，因為活動的結束時間是嚴格遞增的，所以只需按照順序處理所有活動，每個活動處理一次
遞迴貪心演算法：
迭代貪心演算法
執行時間均為θ(n)。可見在這個問題的解決過程中，貪心演算法比動態規劃耗時更少，但是貪心演算法並不能每次都能得到正確的答案。
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