最大子段和問題 詳解（C

最大子段和或稱為最大部分和(maximum subtotal)問題，以下簡稱ms。

舉例說明

例如：

暴力破解（brute force）：

可以從串的任意位置開始在連續的任意位置結束，一層迴圈控制起始位置，一層迴圈控制結束位置。

複雜度：o(n^2)

//迭代

#include
#include
using
namespace std;
const
int maxnum =
100001
;const
int mininf =
-1000003
;int numn;
int sequence[maxnum]
;int
main()
for(
int i =
1; i <= numn;
++i)
} cout<
<
}return0;
}

子問題:如j為終點的最大子區間包含了位置j-1,則以j-1為終點的最大子區間必然包括在其中

如果dp[j-1] >0, 那麼顯然dp[j] = dp[j-1] + seq[j]，用之前最大的乙個加上a[j]即可，因為seq[j]必須包含

如果dp[j-1]<=0,那麼dp[j] = seq[j] ,因為既然最大，前面的負數必然不能使你更大

對於這種子問題結構和最優化問題的證明，可以參考演算法導論上的「剪下法」，即如果不包括子問題的最優解，把你假設的解粘帖上去，會得出子問題的最優化矛盾.證明如下：

令seq[x,y]表示seq[x]+…+seq[y] , y>=x

假設以j為終點的最大子區間 [s, j] 包含了j-1這個位置，以j-1為終點的最大子區間[ r, j-1]並不包含其中

即假設[r,j-1]不是[s,j]的子區間

存在s使得seq[s, j-1]+a[j]為以j為終點的最大子段和,這裡的 r != s

由於[r, j -1]是最優解, 所以a[s,j-1]

得到狀態轉移方程：dp[i] = max(seq[i], dp[i-1]+seq[i]) | 1 <= j <= n && dp[i] >= 0;

seq[i] | dp[i] < 0;

例如，若a序列為(-2,11,-4,13,-5,-2)，dp[0]=0，求其他元素如下：

（1）dp[1]=max=max=-2

（2）dp[2]=max=max=11

（3）dp[3]=max=max=7

（4）dp[4]=max=max=20

（5）dp[5]=max=max=15

（6）dp[6]=max=max=13

其中，dp[4]=20為最大值，向前找到dp[1]小於等於0，所以由a2~a4的元素即(11,-4,13)構成最大子段和，其和為20

複雜度：o(n),由上式可以看出，如果dp[i]為負數，就沒有在賦能的意義了，所以dp[i]陣列可以不需要,空間複雜度：s(1)。

#include

#include
using
namespace std;
const
int mininf =
-1000003
;int numn;
int maxnum;
intmain()
if(tempsum <0)
maxnum =
max(maxnum, tempsum);}
cout<
}return0;
}

hint：合併的過程要是連續的

複雜度：t(n) = 2t(n/2) + o(n);即：o(nlgn)。

#include

#include
using
namespace std;
const
int maxnum =
100001
;const
int mininf =
-1000003
;int numn;
int sequence[maxnum]
;int
mergemax
(int x,
int y,
int z)
intmaxsum
(int left,
int right)
else
int maxnum2 = mininf;
int tempsum2 =0;
for(
int i = mid+
1; i <= right;
++i)
sum = maxnum1+maxnum2;
sum =
mergemax
(sum, leftsum, rightsum);}
return sum;
}int
main()
cout<<
maxsum(0
, numn)
<
}return0;
}

我們可以對矩陣向下疊加轉化為最子段和問題，即當前點為末位邊角元素所有矩陣的最大和：這樣就可以對行不斷向下疊加操作行次求解子段最大和便得到結果。

//poj1050為例

#include
#include
#include
const
int maxnum =
101;
const
int mininf =
-100003
;int dp[maxnum]
;int matrix[maxnum]
[maxnum]
;int numn;
int maxnum;
using
namespace std;
intmain()
if(tempsum <0)
maxnum =
max(maxnum, tempsum);}
}}cout<
}return0;
}

最大子段和詳解

問題的提出 給定n個整數 可能為負數 組成的序列a 1 a 2 a 3 a n 求該序列如a i a i 1 a j 的子段和的最大值。當所給的整均為負數時定義子段和為0，依此定義，所求的最優值為 max,1 i j n 例如，當 a1,a2,a3,a4,a4,a6 2,11,4,13,5,2 時，...

最大子段和詳解

最大子段和問題 maximum interval sum 有時也稱lis 經典的動態規劃問題，幾乎所有的演算法教材都會提到.本文將分析最大子段和問題的幾種不同效率的解法，以及最大子段和問題的擴充套件和運用.一.問題描述 給定長度為n的整數序列，a 1 n 求 1,n 某個子區間 i j 使得a i ...

最大子段和問題

給定n個整數 可能為負數 組成的序列a 1 a 2 a 3 a n 求該序列如a i a i 1 a j 的子段和的最大值。當所給的整均為負數時定義子段和為0 分治法 分析 首先將陣列分為兩部分，最大子段和 可以在陣列的左半部分也可以在右半部分，也可以橫跨分割點，因此我們只需要用分治思想求出左邊最大...