辣雞演算法（五） 字首和 雜湊表優化

這兩天做leetcode，總是做到「字首和」相關的題目，發現了新大陸，在此記錄一下這個東西。

什麼是字首和？

對乙個長度為n的序列nums，將它前i個值求和，得到乙個大小為n的pre陣列，這個陣列記錄的就是字首和。

上面這個定義是我自己寫的，顯然，這個定義是狹義的。從廣義上來講，將序列的前i個值進行任意的函式操作都可以看做是字首和。

記上面提到的函式為int f(vector& pre, int i)，則pre[i]=f(i)。

對於將前i個值求和的做法，f函式如下所示：

int f(vector& pre, int i)

記上面提到的函式為bool g(vector& pre, int j, int i)。

比如，要求區間[i+1, j]間所有元素的和為k，則g函式如下所示：

bool g(vector& pre, int j, int i)

雜湊表優化

優化條件：能找到 i 和 j 相關的恒等式pre[j]=h(i)。比如上述的pre[i]-pre[j] == k對應的恒等式為pre[j]=h(i)=pre[i]-k。只有這個等式成立才說明區間[j+1, i]的某一性質。

優化方法：計算pre[j]並放入雜湊表，在計算pre[i]後利用恒等式計算h(i)，然後將h(i)和雜湊表中資料比對，如果雜湊表中有則說明區間[j+1, i]的某一性質。

優化結果：將時間複雜度降低o(n)

題目舉例

leetcode 560題：

題目：給定乙個整數陣列和乙個整數k，你需要找到該陣列中和為k的連續的子陣列的個數。

**：

class solution 

return count;}};

恒等式為pre[j]==pre[i]−k。

mp[data]記錄的是字首和為data的字首個數。

需要注意的是，從左往右邊更新邊計算的時候已經保證了mp[pre[i]−k] 裡記錄的 pre[j] 的下標範圍是 0≤j≤i 。同時，由於pre[i] 的計算只與前一項的答案有關，因此我們可以不用建立 pre 陣列，直接用 pre 變數來記錄 pre[i−1] 的答案即可。

leetcode 1248題：

題目：

給你乙個整數陣列 nums 和乙個整數 k。

如果某個 連續 子陣列中恰好有 k 個奇數數字，我們就認為這個子陣列是「優美子陣列」。

請返回這個陣列中「優美子陣列」的數目。

**：

class solution 

return ans;}};

恒等式為pre[j]==pre[i]−k。

**中的cnt陣列取代了雜湊表，效果一樣。cnt[data]記錄字首陣列中奇數個數為data的字首個數。

需要注意的是，從左往右邊更新邊計算的時候已經保證了cnt[pre[i]−k] 裡記錄的pre[j] 的下標範圍是 0≤j≤i 。同時，由於pre[i] 的計算只與前一項的答案有關，因此我們可以不用建立pre 陣列，直接用odd 變數來記錄 pre[i−1] 的答案即可。

leetcode 1248題：

題目：

給你乙個字串s，請你返回滿足以下條件的最長子字串的長度：每個母音字母，即 'a'，'e'，'i'，'o'，'u' ，在子字串中都恰好出現了偶數次。

**：

class solution  else if (s[i] == 'e')  else if (s[i] == 'i')  else if (s[i] == 'o')  else if (s[i] == 'u') 

if (~pos[status]) else 
}return ans;}};

接著將pre[i][k]壓縮到乙個5位的二進位制數中，表示前i個字元中個母音字母的奇偶性，記為pre[i]。同前面題目的道理，由於pre[i] 的計算只與前一項的答案有關，因此我們可以不用建立pre 陣列，直接用status 變數來記錄 pre[i−1] 的答案即可。

恒等式為pre[j]==pre[i]。

**中pos陣列取代了雜湊表，效果一樣。pos[data]記錄了字首陣列中最早乙個母音字母奇偶性為data的字首位置。

ps：暫時就碰到三道用字首和與雜湊表做的題目，啃懂這三道，其他題目應該也差不多了吧。

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