v
v中有一族向量s
ss（其中可能只有有限個向量，也可能有無限個向量），如果在s
ss中存在一組向量
\適合下列條件：
α 1,
α2,⋯
,αrα1
,α2
,⋯,
αr線性無關；
這族向量中的任意乙個向量都可以用α1,
α2,⋯
,αrα1
,α2
,⋯,
αr線性表示，
那麼稱\
是向量族s
ss的極大線性無關組，簡稱極大無關組。
上述定義(2)表示若將s設sss中任一向量α
\alpha
α加入\
，則向量組
\一定線性相關。
ss是有限個向量組成的向量族且至少包含乙個非零向量，則s
ssr的極大無關組一定存在。
設a ,b
a,ba,
b是vv
v中兩組向量，a
aa含有r
rr個向量，b
bb含有s
ss個向量。如果a
aa中向量線性無關且a
aa中每個向量均可用b
bb中向量線性表示，則r≤s
r\le s
r≤s。
設a ,b
a,ba,
b都是v
vv中線性無關的向量組，又a
aa中任一向量均可用b
bb中向量線性表示，b
bb中任一向量也可用a
aa中向量線性表示，則這兩組向量所含的向量個數相等。
設a ,b
a,ba,
b都是向量族s
ss的極大線性無關組，則a,b
a,ba,
b所含的向量個數相等。
向量族s
ss的極大無關組所含的向量個數稱為s
ss的秩，記做ran
k(s)
rank(s)
rank(s
)或r(s)
r(s)
r(s)
。若向量組a
aa和b
bb可以互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。
設v
vv是數域k
kk上的線性空間，若在v
vv e1
,e2,
⋯,en
}\
，使得v
vv中任一向量均可表示為這組向量的線性組合，則稱
\是v
vv的一組基，線性空間v
vv稱為n
nn維線性空間（具有維數n
nn）。如果不存在有限個向量組成 v
vv的一組基，則稱v
vv是無限維向量空間。
注：對任一無限維線性空間，也有基的概念。無限維線性空間的存在性證明超出了高等代數的範圍。推論 3.5.1 n維線性空間v
vv中任一超過n
nn個向量的向量組必線性相關設v
vv是n
nn維線性空間，
\是v
vv中的n
nn個向量。若它們適合下列條件之一，則
\是v
vv的一組基：
e 1,
e2,⋯
,ene1
,e2
,⋯,
en線性無關；
v
vv中任一向量均可由e1,
e2,⋯
,ene1
,e2
,⋯,
en線性表示。
設v
vv是n
nn維線性空間，v1,
v2,⋯
,vmv1
,v2
,⋯,
vm是v
vv中的m(m
m(mm( m個線性無關的向量，又假定 \是v vv的一組基，則必可在 \中選出n−m n-mn− m個向量，使之的v1, v2,⋯ ,vmv1 ,v2 ,⋯, vm一起組成v vv的一組基。 定義 1 向量組 alpha 1,alpha 2,dots alpha s 的乙個部分組滿足兩個條件 1 這個部分組線性無關 2 從向量組的其餘向量 如果存在的話 中任取乙個向量添進來，得到的新的部分組都線性相關 稱為這個向量組的乙個極大線性無關組。設向量組 alpha 1,alpha 2,dots... 接下來進入向量場啦，在電磁學和流體力學中均有重要的應用。本章最後的部分有參考趙老師的 新概念物理 電磁學 先介紹幾個基本概念 若有函式 若變換座標 然後就是梯度 gradient 的定義 散度 divergence 比如，對於向心力場 例如 則當n 2時，場的散度為零。這個結論在點電荷與磁荷產生的場... 1 n個有次序的數，組成的陣列稱為n維向量，這n個數稱作分量，第i個數稱作第i個分量。由若干個同維向量可組成向量組 2 向量組a與係數k的線性組合表示為 如果 則稱向量b可以有向量組x線性表示 3 向量組b可以由向量組a線性表示的充要條件是r a r a,b 而兩個向量組等價的條件是r a r b ...3 3 極大線性無關組以及 向量的秩
兩個向量組的秩相等說明什麼 向量分析 II
向量組與向量空間