首先，講到矩陣的秩，幾乎必然要引入矩陣的svd分解：x=usv'，u,v正交陣，s是對角陣。如果是完全svd分解的話，那s對角線上非零元的個數就是這個矩陣的秩了（這些對角線元素叫做奇異值），還有些零元，這些零元對秩沒有貢獻。
有了這個前提，我們就可以用各種姿勢來看秩了：
1.把矩陣當做樣本集合，每一行（或每一列，這個無所謂）是乙個樣本，那麼矩陣的秩就是這些樣本所張成的線性子空間維數。如果矩陣秩遠小於樣本維數（即矩陣列數），那麼這些樣本相當於只生活在外圍空間中的乙個低維子空間，這樣就能實施降維操作。舉個例子，同乙個人在不同光照下採得的正臉影象，假設每一張都是192x168的，且採集了50張，那構成的資料矩陣就為50行192x168列的，但是如果你做svd分解就會發現，大概只有前10個奇異值比較大，其他的奇異值都接近零，因此實際上可以將接近零的奇異值所對應的那些維度丟掉，只保留前10個奇異值對應的子空間，從而將資料降維到10維的子空間了。
2.把矩陣當做乙個對映，既然是對映，那就得考慮它作用在向量x上的效果ax。注意ax相當於a的列的某個線性組合，如果矩陣是低秩的，這意味著這些列所張成的空間是外圍空間的乙個低維子空間，這個空間由ax表達（其中x任意）。換句話說，這個矩陣把r^n空間對映到r^m空間，但是其對映的像只在r^m空間的乙個低維子空間內生活。從svd理解的話，ax=usv'x，因此有三個變換：第一是v'x，相當於在原始的r^n空間旋轉了一下座標軸，這樣只是座標的變化，不改變向量本身（例如長度不變）；第二是s(v'x)，這相當於沿著各個座標軸做拉伸，並且如果s的對角線上某些元素為零，那麼這些元素所對應的那些座標軸就相當於直接丟掉了；最後再u(sv'x)，還是乙個座標軸旋轉。總的來看，ax就相當於把乙個向量x沿著某些特定的方向做不同程度的拉伸（附帶上一些不關乎本質的旋轉），甚至丟棄，那些沒被丟棄的方向個數就是秩了。
這樣就有很多很直接的應用。例如考慮第乙個意義。給定一堆資料，這些資料可能本身只是在乙個低維子空間內生活（即可以用乙個低秩矩陣表示），但是由於雜訊存在，我們拿到這些資料時它們看起來像是外圍空間中的點，沒有任何可以降維的跡象（即矩陣是滿秩的）。設我們拿到的資料是x，那麼根據這個設定，x應該能分解為乙個低秩矩陣l和乙個雜訊矩陣e的疊加，即x=l+e。現在問題是如何恢復出l，因為一旦找到l，就相當於去除了雜訊，同時降低了資料的複雜度（即維度）。怎麼恢復？可以通過求解min rank(l)+\|e\|_f^2, subject to x=l+e來恢復出l和e。秩就顯式地被用在這個問題裡了。當然，這個問題往往只是引子，無數**在寫出類似問題後不到三行就會把rank(l)換成\|l\|_*，這個就是另外一些故事了。。。
numpy 矩陣 秩 Numpy 矩陣
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9 矩陣的秩
1.你們家有 m 個人 每個人提供證件照若干張，一家人共提供了 n 張證件照，那麼 m n 如果稱 n 表示證件照集合的維度，那麼 m 表示證件照集合的秩。2.一條鹹魚躺在乙個砧板上，鹹魚有 x 根魚骨，鹹魚旁邊有 y 根蔥做裝飾。x y 稱為整體維度，那麼魚骨的數量 x 就稱為秩。少一條魚骨，鹹魚...
矩陣秩的部分關係
證明r ata r a 思路 通過證明ax 0與atax 0同解進而解決r ata r a ax 0 atax 0 反之 atax 0 xtatax 0 ax tax 0 兩邊同時取行列式有 ax tax 0 ax t ax 0 又 ax t ax ax 2 0 ax 0 ax 0與atax 0同解...