線性代數如何最通俗地理解矩陣的秩？

小時候老師總告訴我們「要有n個方程才能確定地解出n個未知數」——這句話其實是不嚴格的，如果你想確定地解出n個未知數，只有n個方程是不夠的，這n方程還必須都是「乾貨」才行。從這個角度，初學者可以更好地理解「矩陣的秩」。

其實，《線性代數》這門課自始自終被兩條基本線索交叉貫穿——它們可以被稱為這門課程最為關心的兩大基本問題；當這兩個問題被深入地研究之後，我們還會發現這兩者在某乙個節點上被統一在了一起——這兩個問題中的乙個就是尋求形如：

這樣的n元一次方程組的「解法」、並且對它的解進行如下的研究。

在面對乙個具體的問題時，一般而言我們會首先關注這個問題「有沒有答案」——這就是所謂「解的存在性」。

如果所研究的問題是有答案的，進一步地我們會關心這個問題的「答案是不是只有乙個」——這就是所謂「解的唯一性」。

如果我們對上述兩個問題的回答是：答案唯一地存在，那麼接下來我們想要知道是否能有統一的方法來找到這個解；如果我們的回答是：答案存在但是不唯一，我們就要問：能否把每乙個答案全部找到？並且、能否說清楚這個問題不同答案之間的相互關係——換言之，我們想要研究線性方程組「解的結構」。

當然，小時候老師就告訴過我們：「想要確定地*解出n個未知數，你要有n個方程才行」——這句話其實是不嚴格的，如果你想準確地解出n個未知數，只有n個方程是不夠的，這n方程還必須都是「乾貨」才行，而這些乾貨的個數，就是所謂「矩陣的秩」。

換用精確的數學語言，「確定地解出方程」這句話應該表述為「解出方程，並且要求該結果是唯一的」，換言之，矩陣的秩回答了「方程組解的唯一性」。

換言之，有些方程組你看上去有很多內容，但其實它是被嚴重注水的——那個方程組中可能有一些方程是完全沒用的，比如下面這個例子：

如果你將第乙個方程的-1、-4、-2倍分別加在隨後的各個方程上，就可以得到：

這一步消掉了後三式中含有 x_ 和 x_ 的項，繼續：將第二個方程的-3倍和1倍分別加在第

三、第四個方程上：

注意：後兩個方程「0=0」實際上沒有告訴我們任何新的資訊，這實際上這兩個方程完全沒用！換言之，整個方程組真正「有價值的」部分只有兩個：

按照中學數學的觀點：老師常常告訴我們，四個未知數、兩個方程，是沒有辦法解的——這是一句不嚴謹的說法，中學老師真正想要告訴我們的是：方程的個數低於未知量個數時，這個線性方程組是沒有唯一解的——換言之，這個方程組有無窮多個解。

那麼我們接下來就有乙個很自然的問題：

我們究竟應該除去哪些方程，以保證剩下的方程每乙個都是「有價值的」？

這個問題實際上是線性代數特別關心的乙個話題，回答了這個問題，就可以幫助我們非常恰當地化簡乙個方程組。

要回答這個問題，我們就需要引入乙個新的概念：極大線性無關組；

在講清楚這個概念之前，我們需要了解什麼叫做「線性無關」。

以上面的方程組為例：觀察這個方程組前兩個方程的係數和常數項組成的行向量，令：

對於前兩個向量而言：如果計算

得到的方程組是：

實際上這其中第

一、二、四個方程是是同乙個，整個方程組簡化為：

而我們關於「矩陣的秩」的定義是這樣的：矩陣中所有行向量中極大線性代無關組的元素個數。——而我們前面已經說了，「極大線性無關組」其實就是那個方程組中真正有價值的方程對應的係數向量。

現在，相信你一定理解了我們最初的那句話：那些方程組中真正是乾貨的方程個數，就是這個方程組對應矩陣的秩。

線性代數 如何最通俗地理解矩陣的 秩 ？