線性代數 矩陣的初等變換

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矩陣的初等變換分為初等行變換和初等列變換

初等變換矩陣與矩陣之間用箭頭連線，不能用等號

定理1

任何矩陣都可通過初等變換化為標準形(行變換和列變換都可以)

等價:a經初等變換得到b，叫做a等價於b，記作

等價的性質

初等方陣:對單位陣e做乙個初等變換得到的矩陣就是初等方陣。

初等方陣均可逆

其逆矩陣也是初等方陣。

初等方陣的轉置也是初等方陣。

初等方陣:

交換第i,j行，記作e(i,j)，行列式等於-1，逆矩陣為e(i,j)

用k(k≠0)乘某行，記作e(i(k)),k≠0，行列式等於k，逆矩陣為e(i(1/k))

將第j行的l倍，加到第i行，記作e(i,j(k))，行列式等於1，逆矩陣為e(i,j(-l))

定理2:設a是任意矩陣，用第i種初等方陣左(右)乘a，相當與對a實施第i中行(列)變換。

定理3:任意矩陣a都存在初等方陣p1,p1···ps,q1,q2,···,qt，使得ps,···,p1aq1,···,qt為a的標準形。

推論:如果a,b等價，則存在可逆矩陣p、q，使得paq=b

定理4:a可逆的充分必要條件是a的標準形為e。

定理5:a可逆的充要條件是a可以表示成一些初等方陣的乘積。

注意事項:

先第一列，在第二列···，以此類推

寫整行，對整行操作

第一列處理後，第一行不在主動變換

做變換時矩陣與矩陣用箭頭連線

只做初等行變換

不管是否可逆，如果左邊化不成單位陣，那麼該矩陣不可逆。

乙個矩陣，任取k行k列所組成的k階行列式就是k階子式

矩陣的秩:乙個矩陣a的非零子式的最高端數k就是矩陣的秩，表示為r(a)=k

對於乙個矩陣am×n，0 ≤ r(a) ≤ min

r(a)=m，取所有的行，稱之為行滿秩

r(a)=n，取所有的列，稱之為列滿秩

如果是行滿秩或者列滿秩，我們統稱為滿秩

如果r(a)如果a是方陣，a滿秩的充分必要條件是a可逆

階梯形:

若有零行，零行在非零行的下邊

自上而下，左起第乙個非零元素稱為首非零元，首非零元左邊零的個數隨行數增加而嚴格增加

行簡化階梯形*

階梯形非零行的首非零元是1

首非零元所在的列的其餘元素是0

如何判斷是否為行簡化階梯形

畫折線(判斷是否為階梯形)

判斷非零行的首非零元是否為1

判斷非零行的首非零元所在的行的 其他元素是否為0

一般地，階梯形矩陣的秩等於非零行的行數

初等變換不改變矩陣的秩

性質1:

性質2:任意矩陣乘以可逆矩陣，他的秩不變

性質3:矩陣a為m×n的方陣，p為m階可逆方陣，q為n階可逆方陣，r(a)=r(pa)=r(aq)=r(paq)

線性代數 矩陣的初等變換

矩陣的初等變換分為初等行變換和初等列變換 初等變換矩陣與矩陣之間用箭頭連線，不能用等號 初等行變換 定理1 任何矩陣都可通過初等變換化為標準形 行變換和列變換都可以 等價 a經初等變換得到b，叫做a等價於b，記作 等價的性質 初等方陣 對單位陣e做乙個初等變換得到的矩陣就是初等方陣。初等方陣均可逆 ...

矩陣的初等變換的應用

線性代數 這篇文章中介紹了矩陣的初等變換的用法。沒有強調的是，左乘是行變換，右乘是列變換。三種形式六種情況 ei k 單位矩陣的第i行或者第i列乘以k倍得到的矩陣。ei j 單位矩陣第i行和第j行交換或者第i列和第j列交換得到的矩陣。ei j k 單位矩陣的第j行乘以k倍加到第i行，即被操作的行在前...

python 對矩陣的初等變換

def randint i,j if i 0 return random.randint 0,10000 j 1 else return random.randint 0,10000 j i 1 i def zh a,n for i in range 0,n a i i 1 for i in ran...