任何乙個可逆矩陣a都可以經初等行變換，變換到單位矩陣e。
a也可經初等列變換，變換到e。
a每經過一次初等行變換，就相當於在a的左邊乘乙個初等矩陣。
a每經過一次初等列變換，就相當於右乘乙個初等矩陣。
左（行）右（列）
初等變換的逆變換還是初等變換。
初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣。
所以a一定可以寫成一系列初等矩陣的乘積。
e(i,j).
所以a e(i,j)就相當於交換了a的i、j兩列。
以上是對假設的迴圈論證（等價性證明），所以：
定義：e(i,j) 是 交換 單位矩陣e的i、j兩行（列）得到的矩陣。
ei(k) k !=0
定義：ei(k) 是 e 的第 i 行（列）乘以 k 得到的矩陣。
性質：ei(k)a a的第 i 行乘以 k ；aei(k) a的第 i 列乘以 k。
性質的證明很簡單，跟1. 類似，略。
造了右邊的記號，更形象： e(
ikj)
定義：把 e 的第 i 行乘以 k 加到第 j 行；或者 把 e 的第 j 列乘以 k 加到第 i 列。
性質：e(
ikj)
a 把 a 的第 i 行乘以 k 加到第 j 行；ae(
ikj)
把 a 的第 j 列乘以 k 加到第 i 列。
性質的證明：e=(e1, e2 … en) e=
e′=⎡
⎣⎢e1
′..e
n′⎤⎦
⎥ e(
ikj)
=⎡⎣⎢
..ej
′+ei
′k..
⎤⎦⎥=
e+⎡⎣
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢0.
.ei′
k..0
⎤⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
ae(ikj)
=a+(
...a
j...
)⎡⎣⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢0..
ei′k
..0⎤
⎦⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
ae(i
kj)=
a+aj
e′ik
=a+a
j(0,
...,
xi=k
,0,.
..)=
a+(0
,...
,xi=
kaj,
0,..
.)所以相當於把第 j 列乘以 k 倍 加到 第 i 列上。
初等矩陣
初等變換【左（右）乘上它相當於初等行（列）變換】
a中向量組（n-有序單形）的幾何變換
行列式（就是n-平行體有符號的面積、體積）
e(i,j)
交換第i、j兩行（列）
映象（反射），變成了手性對映體
變號 改變定向
ei(k)
第 i 行（列）乘以k
伸縮變換
體積乘以ke(
ikj)
第 i 行乘以 k 加到第 j 行 或者 第 j 列乘以 k 加到第 i 列
錯切變換
體積不變
矩陣的初等變換的應用
線性代數 這篇文章中介紹了矩陣的初等變換的用法。沒有強調的是，左乘是行變換，右乘是列變換。三種形式六種情況 ei k 單位矩陣的第i行或者第i列乘以k倍得到的矩陣。ei j 單位矩陣第i行和第j行交換或者第i列和第j列交換得到的矩陣。ei j k 單位矩陣的第j行乘以k倍加到第i行，即被操作的行在前...
python 對矩陣的初等變換
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