線性代數 矩陣的初等變換

2021-10-03 17:07:35 字數 2010 閱讀 3259

矩陣的初等變換分為初等行變換和初等列變換

初等變換矩陣與矩陣之間用箭頭連線,不能用等號

初等行變換

定理1

任何矩陣都可通過初等變換化為標準形(行變換和列變換都可以)

等價:a經初等變換得到b,叫做a等價於b,記作

等價的性質

初等方陣:對單位陣e做乙個初等變換得到的矩陣就是初等方陣

初等方陣均可逆

其逆矩陣也是初等方陣。

初等方陣的轉置也是初等方陣。

初等方陣:

交換第i,j行,記作e(i,j),行列式等於-1,逆矩陣為e(i,j)

用k(k≠0)乘某行,記作e(i(k)),k≠0,行列式等於k,逆矩陣為e(i(1/k))

將第j行的l倍,加到第i行,記作e(i,j(k)),行列式等於1,逆矩陣為e(i,j(-l))

定理2:設a是任意矩陣,用第i種初等方陣左(右)乘a,相當與對a實施第i中行(列)變換。

定理3:任意矩陣a都存在初等方陣p1,p1···ps,q1,q2,···,qt,使得ps,···,p1aq1,···,qt為a的標準形。

推論:如果a,b等價,則存在可逆矩陣p、q,使得paq=b

定理4:a可逆的充分必要條件是a的標準形為e。

定理5:a可逆的充要條件是a可以表示成一些初等方陣的乘積。

注意事項:

先第一列,在第二列···,以此類推

寫整行,對整行操作

第一列處理後,第一行不在主動變換

做變換時矩陣與矩陣用箭頭連線

只做初等行變換

不管是否可逆,如果左邊化不成單位陣,那麼該矩陣不可逆。

乙個矩陣,任取k行k列所組成的k階行列式就是k階子式

矩陣的秩:乙個矩陣a的非零子式的最高端數k就是矩陣的秩,表示為r(a)=k

對於乙個矩陣am×n,0 ≤ r(a) ≤ min

r(a)=m,取所有的行,稱之為行滿秩

r(a)=n,取所有的列,稱之為列滿秩

如果是行滿秩或者列滿秩,我們統稱為滿秩

如果r(a)如果a是方陣,a滿秩的充分必要條件是a可逆

定理1:r(a)=r的充要條件是有乙個r階子式不為0,而所有的r+1階子式全為0

階梯形:

若有零行,零行在非零行的下邊

自上而下,左起第乙個非零元素稱為首非零元,首非零元左邊零的個數隨行數增加而嚴格增加

行簡化階梯形*

階梯形非零行的首非零元是1

首非零元所在的列的其餘元素是0

如何判斷是否為行簡化階梯形

畫折線(判斷是否為階梯形)

判斷非零行的首非零元是否為1

判斷非零行的首非零元所在的行的 其他元素是否為0

一般地,階梯形矩陣的秩等於非零行的行數

初等變換不改變矩陣的秩

例:

性質1:

性質2:任意矩陣乘以可逆矩陣,他的秩不變

性質3:矩陣a為m×n的方陣,p為m階可逆方陣,q為n階可逆方陣,r(a)=r(pa)=r(aq)=r(paq)

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