今天要講的是關於矩陣秩的重要結論。關於矩陣的秩，講三點，前兩點是比較重要的，專門提出來強調一下，第三點是書上沒有的乙個重要的結論：
1、2、矩陣左乘列滿秩矩陣後新矩陣的秩與原矩陣的秩一樣，此結論希望引起大家重視，此結論就是同濟大學第五版70頁的例9，大家可以參照此過程。
3、給出乙個關於矩陣的秩的一般性的結論，
大家記住了的話對做題有很大的幫助，證明過程複雜，不要求掌握。
今天看一道考研的選擇題：
上述是脫離了方程組單獨講的矩陣的秩的結論，而當秩與方程組結合時也有重要結論，對於方程組ax=b
1、如果a是行滿秩的矩陣，那麼方程組要麼有唯一解，要麼有無窮多解。
如果a是行滿秩的矩陣，因為矩陣的列秩等於矩陣的行秩，所以矩陣的列秩等於矩陣的行數，所以矩陣的列向量的線性組合一定能得到所有該維數的列向量。怎麼理解呢？比如a是2x4的矩陣，a的秩為2，那麼組成a的四個列向量的秩為2，這四個列向量都是2維的，那這四個列向量是不是能線性組合成任意的二維列向量，所以一定有解。
a的形式要麼是矮且胖要麼是方陣（矩陣的列不可能小於矩陣的行數），如果矩陣a矮且胖的話，那麼對線性方程組的約束的個數（矩陣的行數）小於未知數的個數，那就是無窮多解。矩陣a是方陣，根據克拉默法則我們也能得出是唯一解。
上面是我們根據我們對線性代數的直觀理解做出的推導，那麼這個結論怎麼證明呢？
2、如果a是列滿秩的話，那麼方程組要麼有唯一解，要麼無解。
兩個結論看起來類似，但直觀理解的角度不太一樣。a要麼是方陣，要麼是瘦高型，a是方陣時根據克拉默法則也可知有唯一解，a是瘦高型的話，a的線性組合如果能構成b就是唯一解，不能構成b就無解了。（因為a中各列線性無關，最後x不可能有無窮多解）
還有乙個角度，b是a中各列線性組合，b的這一列加到a後如果矩陣的秩加了1，說明無解，如果矩陣的秩不變，說明有唯一解。
9 矩陣的秩
1.你們家有 m 個人 每個人提供證件照若干張，一家人共提供了 n 張證件照，那麼 m n 如果稱 n 表示證件照集合的維度，那麼 m 表示證件照集合的秩。2.一條鹹魚躺在乙個砧板上，鹹魚有 x 根魚骨，鹹魚旁邊有 y 根蔥做裝飾。x y 稱為整體維度，那麼魚骨的數量 x 就稱為秩。少一條魚骨，鹹魚...
矩陣的秩最小化
為了求解問題 因為它是非凸的，我們求解乙個它的近似演算法 對於乙個大的 值，它可以用下列等式接近 其中第一項為核正規化 奇異值的和 第二項為frobenius正規化。singular value thresholding svt 奇異值閾值 奇異值收縮 singular value shrinkag...
總結利用秩為1的矩陣相關矩陣的秩的計算問題
線性代數 對於乙個秩為1的矩陣，常常給定的是乙個列向量與自己的轉置之積。回顧前面兩篇關於秩為1的矩陣的基礎推導。再來看一道習題的運用。2012.13 設 是三維單位列向量，e是三階單位矩陣，則矩陣e t 的秩為？分析 如果直接根據r t 1,蒙2，結果也是對的，但是這個做法是錯的，並不推薦。正確解法...