面試題，硬幣動態規劃

題目描述：給定數量不限的硬幣，幣值為25分、10分、5分和1分，編寫**計算n分有幾種表示法。(結果可能會很大，你需要將結果模上1000000007)

示例1：

輸入: n = 5
輸出：2
解釋: 有兩種方式可以湊成總金額:
5=55=1+1+1+1+1

示例2：

輸入: n = 10
輸出：4
解釋: 有四種方式可以湊成總金額:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

思路：看到這道題我們的第乙個想法就是將各個面額可組成n的情況進行相加,但是要如何實現這個轉移方程呢？我們先看乙個例子n=10當n=10時，有四種組合，我們看一下這四種組合

1個10 2個55個1，乙個5 10個1

我們從觀察一下，發現使用較大面額的硬幣是在遞減的，一開始是使用乙個面額為10的，後來就是使用兩個面額為5，再使用乙個面額為5，再下去就是全部都用面額為1的

我們寫乙個簡單的狀態轉移方程：

f(10) = f(5,10)+f(5,0)
f(5,10) = f(1,10)+f(1,5)+f(1,0)

發現沒有，f(5,10)–>f(5,0)就是乙個有沒有使用10面額的差別，如果使用了10面額，那麼我們需要用5合層的就是f(5,10-10)

從上面我們可以得到完整的狀態轉移方程,用i表示第幾種面額的硬幣，v表示n,c表示第i種硬幣的面額:

f(i,v) = f(i-1,v)+f(i-1,v-c)+f(i-1,v-2c)+...+f(i-1,v-kc)
v-kv>=0

上面的方程還能再簡化為：

f(i,v) = f(i-1,v)+f(i,v-c)

因為我們需要用到的只是i-1即類似這樣的資料f(i,v) = f(i-1,v)+f(i-1,v-c)+f(i-1,v-2c)+...+f(i-1,v-kc),所以我們用乙個一維陣列f來儲存這些資料

for(i=coin; i<=n; i++)
f[i]=(f[i]+f[i-coin])%mod;

有沒有覺得f[i]=(f[i]+f[i-coin])這段**很熟悉，其實這段**就對應了前面的狀態轉移方程f(i,v) = f(i-1,v)+f(i,v-c),只是因為f(i)儲存的其實是f[i-1]的值，這一步就是將其更新

完整**：

感覺動態規劃還是很難啊，這道題想了挺久的，就覺得跟前面的題一樣，很難想出乙個很正確的轉移方程，這道題之前也做過類似的，揹包問題，動態轉移方程是一樣的，打算寫完這篇部落格去看一下《揹包九講》，希望能夠體會乙個動態規劃的精髓

面試題，硬幣 動態規劃