動態規劃題目練習

01揹包

300. 最長上公升子串行

198. 打家劫舍

62. 不同路徑

64. 最小路徑和

72. 編輯距離

做動態規劃題很重要的三個步驟:

第一步驟：定義陣列元素的含義，確定狀態首先提取【最後一步】，用乙個陣列，來儲存歷史陣列，假設用一維陣列 dp 吧。這個時候有乙個非常非常重要的點，就是規定你這個陣列元素的含義，例如你的 dp[i] 是代表什麼意思？

第二步驟：找出陣列元素之間的關係式，我覺得動態規劃，還是有一點類似於我們高中學習時的歸納法的，當我們要計算 dp[n] 時，是可以利用 dp[n-1]，dp[n-2].....dp[1]，來推出 dp[n] 的，也就是可以利用歷史資料來推出新的元素值，所以我們要找出陣列元素之間的關係式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，這個就是他們的關係式了。而這一步，也是最難的一步。

第三步驟：找出初始值。學過數學歸納法的都知道，雖然我們知道了陣列元素之間的關係式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，我們可以通過 dp[n-1] 和 dp[n-2] 來計算 dp[n]，但是，我們得知道初始值啊，例如一直推下去的話，會由 dp[3] = dp[2] + dp[1]。而 dp[2] 和 dp[1] 是不能再分解的了，所以我們必須要能夠直接獲得 dp[2] 和 dp[1] 的值，而這，就是所謂的初始值。

由了初始值，並且有了陣列元素之間的關係式，那麼我們就可以得到 dp[n] 的值了，而 dp[n] 的含義是由你來定義的，你想求什麼，就定義它是什麼，這樣，這道題也就解出來了。

最基本的揹包問題就是01揹包問題（01 knapsack problem）：一共有n件物品，第i（i從1開始）件物品的重量為w[i]，價值為v[i]。在總重量不超過揹包承載上限cap的情況下，能夠裝入揹包的最大價值是多少？

第一步：dp[i][j]表示將前i件物品裝進限重為j的揹包可以獲得的最大價值，不是前i件都裝；

第二步：當 i > 0 時dp[i][j]有兩種情況：

裝不下，不裝入第i件物品，即dp[i−1][j]；

能裝下，裝入第i件物品，即dp[i−1][j−w[i]] + v[i]。

即狀態轉移方程為

dp[i][j] = max(dp[i−1][j], dp[i−1][j−w[i]]+v[i]) // j >= w[i]

第三步：dp[n+1][cap+1] ：dp[0][j]表示0個物品裝入，價值為0；dp[i][0]揹包容量為0，裝不下任何東西，價值為0；

package cn.ren.demo;
public class solution ;
int value = new int ;
int cap = 20 ;
system.out.println(knapsack(weight, value, cap));
} public static int knapsack(int w, int v, int cap) 
for (int j = 0; j < n; j ++ ) 
for (int i = 1; i < m; i ++ ) else 
}} return dp[m-1][n-1] ;
}}

class solution 
public int dp(int nums)
for(int i = 0; i < nums.length; i++)
}max = math.max(max,dp[i]) ;
}return max ;
}}

class solution  else if(nums.length == 1)
int dp = new int[nums.length] ;
dp[0] = nums[0] ;
dp[1] = math.max(nums[0],nums[1]) ;
for( int i = 2; i < nums.length; i ++)
return dp[nums.length-1] ;
}}

class solution 
for( int j = 0; j < n; j ++)
for(int i = 1; i < m; i ++)
}return dp[m-1][n-1] ;
}}

class solution 
for( int j = 1; j < n; j ++)
for( int i = 1; i < m ; i ++)
}return dp[m-1][n-1] ;
}}

class solution 
for(int j = 1; j <= n; j ++)
for(int i = 1; i <= m; i ++) else }}
return dp[m][n] ;
}}

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關於動態規劃題目的練習和總結

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