尤拉函式用來求 在小於x的正整數且與x互質（公約數只有1）的數的個數，一般用φ(x)表示，這個φ(x)就是尤拉函式，也就是用來解決 「在1-x之間有多少個數與x構成互質關係」的問題
特別的，φ(1)=1，∏ 是直積符號，表示連乘
其中p1,p2…pi…pn為x的所有質因數，x是乙個正整數
根據唯一分解定理，我們可以把乙個整數唯一地分解為多個質數冪次的乘積，即
任取其中乙個因數，即t=pk，那麼如果將t分解為長度為p的若干段，則能分成pk/p段，也就是p(k-1)段，那麼這每一段裡，由於p本身是質數，那麼將有p-1個數與t互質（因為除了1），所以比t小且與t互質的數就有p(k-1)∗(p-1)這麼多，也就是φ(t)=p(k-1)∗(p-1)，也是尤拉函式的特殊情況
把這種特殊情況的結論帶入求φ(x)中的話，x分解出的每乙個piai都可以看成乙個ti，然後許多個ti相乘，每個ti都是只有乙個質數的冪次的特殊情況，即t1=p1a1，t2=p2a2，那麼可以把唯一分解定理的形式寫成 x= t1∗t2∗t3∗… ∗tn，也就是
然後對其套用特殊情況的結論進行證明：
由此我們得到且證明了尤拉函式：
有關證明這裡不展開了，大部分情況了解就行
尤拉函式是積性函式，但不是完全積性函式：
對於質數p，φ（p）= p-1;
若p是質數且t=p(k-1)，φ(t)=p(k-1)∗(p-1)，也就是證明過程中的特殊情況結論
n>2時，φ(x)是偶數；
小於n的數中，與n互質的數的總和為：φ(n) * n / 2 (n>1)；
x的因數（包括1和它自己）的尤拉函式之和等於x，即x=∑d∣x φ(d) ，其中d∣x是x能被d整除的意思。
在以上公式中很顯然，需要得知的量就是pi，也就是x的所有質因數，找出比x小的所有質數我們可以用篩法，再加一層判斷是否是因數就行了，所以之前學的尤拉篩就可以排上用場了
情況1：如果p為質數且p為x的因數，那麼
情況2：如果p不是x的因數，即p，x互質，那麼根據積性函式性質
所以**如下（一定要會寫，很有用）：
//尤拉篩法求尤拉函式，建議對照尤拉篩法**一起看
const
int n =
1005
;int phi[n]
;//φ
bool isprime[n]
;int primes[n]
;int cnt;
void
euler
(int n)
for(
int j =
1; j <= cnt && primes[j]
* i <= n; j++
)//prime[j]表示當前推到的質數
else phi[i * primes[j]
]= phi[i]
* phi[primes[j]];
//情況2，否則兩個因子互質了，就可以利用尤拉函式是積性函式的性質 }}
}
關於互質數
自然數m,n,m 1,x n 1,y 求m,n互質 即m,n 最大公約數為1 的概率 x,y 驅於無窮大時，此概率的極限為6 2 function getpmn byval x as long,y as long as double dim a as byte,i as long,temp as d...
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尤拉函式求互質數個數
求解與n 1 n 1 互質的質因子的個數 解析 定義 對於正整數n，n 是小於或等於n的正整數中，與n互質的數的數目。例如 8 4，因為1，3，5，7均和8互質。性質 1.若p是質數，p p 1.2.若n是質數p的k次冪，n p 1 p k 1 因為除了p的倍數都與n互質 3.尤拉函式是積性函式，若...