(二)導數的應用
(三)中值定理
2）零點問題
本筆記不涉及基礎知識，重點在於分析考研數學的出題角度和對應策略。筆記隨著做題的增多，不定時更新。且為了提高效率，用表線性梳理的形式代替思維導圖，望諒解。
如有缺漏錯誤，歡迎補充指正！
這一章的特點是出題點較多且雜，其實考察的知識就是大綱上的那些。或者說出題的角度靈活比較合適。
除了掌握大綱中的要求，還要多做練習題找到題中經常出現的坑，大都是對定義的精確考察，我把遇到的都記錄在這裡。
這一部分只會討論什麼是導數與微分，以及它們的計算。也是一元函式微分學最基礎的部分。
給出函式判斷導數是否存在：
給出函式及其性質判斷其它函式的可導性：
給出函式及性質求待定引數
利用導數定義及題中條件即可。
可能出現的導數形式：
基本初等函式的導數及其復合（公式記牢）
變限積分（求導公式、變數代換）
隱函式求導（直接求導）
反函式求導（dxd
y=1d
yd
x\frac = \frac}
dydx=
dxdy
1,注意對誰求導，鏈式法則）
引數式函式求導（鏈式法則）
求解高階導數（鏈式法則）
求函式的n階導數（泰勒公式、常用n階導數公式、級數 ）
當充分理解什麼是導數後，我們重新回到函式部分，思考導數在函式的計算和性質中可以有什麼應用。
所以標題為導數的應用，也可以稱為函式的性質。
導數在大綱中有以下應用：
極值、最值、單調性、凹凸性、拐點、駐點、漸進線、曲率、曲率半徑、曲率圓、畫出函式草圖。
其中，拐點與駐點是通過導數定義的屬性。
極值、單調性、凹凸性、曲率、曲率半徑、曲率圓是本來有自己的定義，但通常需要用導數來計算和確定的屬性。
最值和漸近線是間接和導數有關係的屬性。
若實際問題必定有最值，且由問題建立的表示式只有乙個駐點，那麼該駐點便是極值點。該類應用題常於解析幾何或位置引數的函式聯絡，需要建立目標函式或討論引數。
這一部分是一元函式微分學的難點。
導數是刻畫函式在一點處變化裡的概念，它反映的是函式在一點鄰近的區域性變化性態。
但在理論研究和實際應用中，常常需要知道函式在某一區間上的整體變化情況和它在區間內某些點處的區域性變化性態之間的關係。
有關中值定理的題型解題方法可能是不唯一的，可以用拉格朗日中值解，說不定也可以用羅爾定理解。
關於函式某一區間變化情況或某些點處的區域性變化性態問題求解方式有以下幾種：
利用導數討論單調性
最值存在極值定理結合費馬定理
介值定理
積分中值定理
羅爾定理
拉格朗日中值定理
拉格朗日餘項泰勒公式
柯西中值定理
以及幾種解題技巧：
積分法微分方程法
函式與導數存在零點個數的關係
下面我們根據問題的提問方式具體分析，中值定理的題型大概可分為以下幾類：
這類問題放在第一類，是因為不等式問題求解方式眾多。比如我們以前提到的利用條件極值解不等式問題，在這一章還可以利用導數用單調性解不等式問題，以及各種中值定理和泰勒公式求解。
a. 具體函式不等式問題
b. 抽象函式不等式問題a. 可導具體函式的零點問題
b. 證明存在f(ξ
)=
0f(ξ)=0
f(ξ)=0
的零點問題
c. 證明存在f′(
ξ）=0
f^(ξ）=0
f′(ξ）=
0的零點問題
d. 雙中值問題
e. 復合函式ψ(x
,f(x
),f′
(x))
ψ(x,f(x),f^(x))
ψ(x,f(
x),f
′(x)
)的零點
這類題型的特點是題目要求的證明涉及x,f
(x
)x,f(x)
x,f(x)
,和f ′(
x)
f^(x)
f′(x
)。比如根據題目條件證明：(1+
ξ)f′
(ξ)−
f(ξ)
=0
(1+ξ)f^(ξ)-f(ξ)=0
(1+ξ)f
′(ξ)
−f(ξ
)=0
f. 復合函式ψ(x
,f(x
),f′
(x),
f′′(
x)
)ψ(x,f(x),f^(x),f^(x))
ψ(x,f(
x),f
′(x)
,f′′
(x))
的零點
g. 存在某ξ滿足某不等式
3) 多說一句
涉及中值定理和不等式的問題靈活多樣，列舉這些不同的題型只是在做題的時候能更快找到思路。還有很多不在上述列舉中的題目，這時就需要結合中值定理發揮想象力，求解出來。這也是為什麼不等式和中值定理是難點和重點。
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