筆記 一元函式微分學

$f(x)$在$x_0$可導的充分條件為：$f(x)$在$x_0$左右可導並有 $f'_-(x)=f'_+(x)$

可導一定連續，連續不一定可導

設$y=f(x)$,則$f'(t)=\fracy}x}=\fracy}t}\fract}x}$

常用於複雜的復合函式求導

$ax=e\rightarrow 令u=xlna \rightarrow$

$$\fraca^x}x}=\frace^u}u}\fracu}x}=eulna=axlna

$$$eg.2設y=sin\sqrt,求y'$

$設u=x^2+x+1,v=\sqrt，由鏈式法則\rightarrow $

$$\fracy}x}=\fracy}v}\fracv}u}\fracu}x}=cosv\frac}(2x+1)=\frac}cos\sqrt$$

對數求導

$y=f(x)\rightarrow lny=lnf(x)\rightarrow (lny)'=(lnf(x))'\rightarrow$

$y'\frac=(lnf(x))'\rightarrow y'=y(lnf(x))'$

$\begin

y' & =y(ln\frac)' \\

& = y(\fraclnx+\fracln(x-1)+\fracln(x+2)-\fracln(x+1)-\fracln(x+3))' \\

& = \sqrt[3]}(\frac+\frac+\frac) \\

\end

$

對數求導用於函式中同時包含冪函式、乘法、除法的複雜復合函式

$由鏈式法則可得：\fracy}x}=\fracx}y}}$

$eg.4設x=arcsiny,求x'$

$x=arcsiny\rightarrow y=sinx\rightarrow $

$$\fracx}y} = \fracy}x}} = \fracsinx}x}} = \frac = \frac}=\frac}

$$冪指函式求導

先將底化為常數，再對指數進行求導

$y'=(e)'=(xlnx)'e=(lnx+1)x^x$

$(sinx)^=sin(\frac+x)$

$(cosx)^=cos(\frac+x)$

$ln(1+x)=\frac(n-1)!}$

$sin(ax+b)=ansin(ax+b+\frac)$

$(e)=ane$

$[u(x)v(x)]=\sum_c_uv^$

微積分（六） 一元函式微分學

二 導數的應用 三 中值定理 2 零點問題 本筆記不涉及基礎知識，重點在於分析考研數學的出題角度和對應策略。筆記隨著做題的增多，不定時更新。且為了提高效率，用表線性梳理的形式代替思維導圖，望諒解。如有缺漏錯誤，歡迎補充指正！這一章的特點是出題點較多且雜，其實考察的知識就是大綱上的那些。或者說出題的角...

微積分 第二講 一元函式微分學

f x 0 lim frac f x exists iff f x 0 f x 0 左導數 f x 0 lim frac 右導數 f x 0 lim frac f g x g x f x,y 0 對於多項相乘 多項相除 開方 乘方的式子，先取對數，再求導 ln x frac cdot u 4.1.1...

多元函式微分學

無窮小 當x 0時，a x 趨向於0，則說明a x 是無窮小。無窮下一般用a表示，高階無窮小用o表示。微分 0y ax o 0x 其中o 0x 這個符號，說明o是0x的高階無窮小。在極限的運算過程中，f x 在x0處的極限為a，則f x a 多元函式的概念 z f x,y 極限 從各個方向向 x0，...