這裡有三個定義：正規矩陣、譜半徑、譜範數
有一類矩陣 a
aa，如：對角矩陣、實對稱矩陣（a⊤=
aa^\top = a
a⊤=a
）、實反對稱矩陣（a⊤=
−a
a^\top = -a
a⊤=−
a）、厄公尺特矩陣（ah=
aa^h = a
ah=a
）、反厄公尺特矩陣（ah=
−a
a^h = -a
ah=−
a）、正交矩陣（ata
=aat
=i
a^t a = aa^t= i
ata=aa
t=i）以及酉矩陣（aha
=aah
=i
a^h a = aa^h = i
aha=aa
h=i）等，都有乙個共同的性質：
a ah
=aah
aa^h = aa^h
aah=aa
h為了能夠用統一的方法研究他們的相似標準型，我們引入正規矩陣的概念。
設 a ∈c
n×
na \in c^
a∈cn×n
，且 aah
=aha
aa^h = a^ha
aah=ah
a，則稱 a
aa 為正規矩陣。
上面提到的幾個特殊矩陣都是正規矩陣，但正規矩陣並不限於以上幾種。
a是n階方陣，λi是其特徵值，i=1,2,…,n。則稱特徵值的絕對值的最大值為a的譜半徑，記為ρ(a)
注意要將譜半徑與譜範數(2-範數)區別開來，譜範數是指a的最大奇異值，即 aha
a^ha
aha 最大特徵值的算術平方根。
譜半徑是矩陣的函式，但不是矩陣範數。
命題：a是正規陣，必然存在酉陣q滿足：q′∗
a∗q=
dq' * a * q = d
q′∗a∗q
=d，d為對角陣且每個對角元zhi為a的特徵值。
a的二範數 <=> a的最大奇異值 <=> max(sqrt(eig(a』 * a))) <=> max(sqrt(eig(d』 * d))) <=> d的模最大對角元 <=> a的譜半徑，證畢！
記d = diag滿足|λ1| ≥ |λ2| ≥ … ≥ |λn|，則|λ1|為a的譜半徑。
2.1 令x1為λ1對應的右特徵向量滿足a * x1 = λ1 * x1，必然有：||ax1||₂/ ||x1||₂= |λ1| ≤ ||a||₂
2.2 令y1為a的2範數對應的單位向量，即：||y1||₂= 1且||a||₂= ||ay1||₂。y1可以被q線性表出為y1 = q * z1，且z1也為單位向量。不難得出：||a||₂= ||ay1||₂= ||aqz1||₂= ||dz1||₂≤ |λ1|
綜合2.1和2.2可得：||a||₂= |λ1|，證畢！
譜半徑和範數等價 矩陣範數
定義 對於任意矩陣a，都有乙個確定的實數 非負性 除了零矩陣，其他任意矩陣的 齊次性 對任意矩陣a和實數k，都有 三角不等性 對於任意兩個矩陣，都有 乘法不等性 對於任意兩個矩陣，都有 說明 任意矩陣都有範數，長方形 正方形 零值 復值矩陣都有範數！但都要滿足上面4條。常用的矩陣範數 下面常用的矩陣...
2020 12 08 譜半徑 任何矩陣範數
譜半徑 矩陣最大絕對特徵值 標準定義 設 a c n n boldsymbol a in mathbf a cn n 的 nn n 個特徵值為 1,2,n,lambda lambda cdots,lambda 1 2 n 稱 a max i i rho boldsymbol max left lam...
不同範數下的餘弦定理 矩陣理論 範數和譜半徑
線性運算元 的譜半徑定義為 譜半徑在演算法的收斂性證明中起到舉足輕重的作用。我們先看乙個簡單的事實。運算元作用在特徵向量上就是乙個拉伸，這裡是廣義的拉伸，因為特徵值有可能是複數。那麼反覆作用會怎麼樣呢？假設 是矩陣 的乙個特徵值，是對應的特徵向量。那麼 兩邊同時取模，如果,那麼 as 反過來，如果 ...