快速排序的時間複雜度與空間複雜度

2021-10-09 01:47:39 字數 1532 閱讀 1688

我理解的是,快速排序用的是分治法,運用的遞迴的演算法,先挑選乙個基準值,小於基準值的數放在左邊,

大於基準值的數放在基準值的右邊,這樣就涇渭分明的三塊;但是這三塊是有序的,基準值左邊右邊的內

部數是無序的,所以,將基準值左右兩端繼續進行快速排序,直到區間長度為1,排序就完成了。

下面使用vs2013實現快速排序:

輸出為:

每種排序方式都會有最優的時間複雜度以及最差的時間複雜度,就像快速排序,你每次取出都取出整個陣列

中最小/最大的那個元素,那就是氣泡排序了,他的時間複雜度為t[n] = n * (n-1) = n^2 + n;也就是o( n^2 )

快速排序最優的情況就是每一次取到的元素都剛好平分整個陣列(上方**並不是最優情況);此時的時間複雜度公式則為:t[n] = 2t[n/2] + f(n);f[n] 就是第一次平分這個陣列時所花的時間;t[n/2]是平分後的兩邊陣列的時間複雜度,

下面來推算下,在最優的情況下快速排序時間複雜度的計算(用迭代法):

t[n] =  2t[n/2] + n              			 ----第一次遞迴

令:n = n/2 = 2 + n ----第二次遞迴

= 2^2 t[ n/ (2^2) ] + 2n

令:n = n/(2^2) = 2^2 + 2n-----第三次遞迴

= 2^3 t[ n/ (2^3) ] + 3n

令:n = n/( 2^(m-1) ) = 2^m t[1] + mn ----第m次遞迴(m次後結束)

當最後平分的不能再平分時,也就是說把公式一直往**倒,到最後得到t[1]時,說明這個公式已經迭代完了(t[1]是常量了)。

得到:t[n/ (2^m) ] = t[1] ===>> n = 2^m ====>> m = lgn;

t[n] = 2^m t[1] + mn ;其中m = lgn;

t[n] = 2^(lgn) t[1] + nlgn = n t[1] + nlgn = n + nlgn ;其中n為元素個數

又因為當n >= 2時:nlgn >= n (也就是lgn > 1),所以取後面的 nlgn;

綜上所述:快速排序最優的情況下時間複雜度為:o( nlgn )

快速排序的使用空間是o(1);其主要的空間複雜都在遞迴上了
最優的情況下空間複雜度為:o(logn);每一次都平分陣列的情況

最差的情況下空間複雜度為:o( n );退化為氣泡排序的情況

問乙個問題:怎麼才能避免變成氣泡排序提高效率呢?

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