動態規劃的通用解法和案例

characterize the structure of an optimal solution. # 確定解的結構

recursively define the value of an optimal solution. # 寫出遞迴關係

compute the value of an optimal solution, typically in a bottom-up fashion. # 自底向上實現

（construct an optimal solution from computed information. ）

1524. number of sub-arrays with odd sum

這道題的目的是找出所有和為奇數的子陣列的數目。思路是找到遞迴關係：

示例**：

def

numofsubarrays
(self, arr: list[
int])-
>
int:
ifnot arr:
return
0 
even =
0 odd =
0 res =
0for x in arr:
if x %2==
0:even, odd = even +
1, odd
else
: even, odd = odd, even +
1 
res += odd
return res %(10
**9+7
)

這道題的目的是返回最長的積為正數的子陣列的長度。思路同樣是從遞迴關係入手

示例**

def

getmaxlen
(self, nums: list[
int])-
>
int:
pos =
0 neg =
0 res =
0for num in nums:
if num ==0:
pos =
0 neg =
0elif num >0:
pos +=
1 neg = neg +
1if neg else
0else
:if neg ==0:
pos, neg =
0, pos +
1else
: pos, neg = neg +
1, pos +
1 res =
max(res, pos)
return res

確定最優子結構

定義序列 x=⟨

x1,x

2,⋯,

xm⟩，

y=⟨y

1,y2

,⋯,y

n⟩

x = \langle x_1, x_2, \cdots, x_m \rangle， y= \langle y_1, y_2, \cdots, y_n \rangle

x=⟨x1​

,x2​

,⋯,x

m​⟩，

y=⟨y

1​,y

2​,⋯

,yn​

⟩，x,

yx, y

x,y有最長公共子串行z=⟨

z1,z

2,⋯,

zk

⟩z = \langle z_1, z_2, \cdots, z_k \rangle

z=⟨z1​

,z2​

,⋯,z

k​⟩.

寫出遞迴解

定義 c[i

,j

]c[i,j]

c[i,j]

為 xi

x_ixi

​ 和 y

jy_j

yj​ 的lcs長度.

else if xi=

yj

x_i = y_j

xi​=yj

​ else

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