分治法 二分查詢

問題：給定已按公升序排好序的n個元素a[0:n-1]，現要在這n個元素中找出一特定元素x，返回其（首次）出現的位置。

雖說是老問題，但是並不可簡單忽視，網上有人說「十個二分九個錯」，還是要好好梳理一下。

問題一，區間開閉

設查詢區間左右端點為left與right，這兩個點其實開閉均可，一般統一用閉合。

問題二，中位數

中位數有上位中位數和下位中位數之分，如序列1234上位中位數為2，下位中位數為1，此處的2和1均為下標。設序列長度為length，則有：

下位中位數lowermedian = (length-1)/2

上位中位數uppermedian = length/2

在閉區間的前提下，中位數可以寫成：

median = left + (right - left)/2

不要將中位數寫成：

median = (left + right)/2

問題四，終結條件

不要用left==right作為終結條件，會被跳過。例如在序列[1,5]中尋找0，若終結條件為left==right，就會導致迴圈一直出不去。

正確的終結條件是：

left > right

問題五，遞推方向

若沒有重複元素，那麼根據median所對應的值大於、小於或者等於target，可以分別進行左移right，右移left和返回median操作。值得注意的是例如在左移right時，可以不僅僅將其設為median，而是設為median-1，可以減少一些計算。

若有重複元素，返回所查詢的元素第一次出現的位置，那麼我們可以從前面的沒有重複元素的思路考慮。考察left指標，只有在median對應的值小於target時，left才會右移，而median對應的值又大於等於left對應的值，那麼當target等於left對應的值時，left將不再右移。換言之left最終將停留在target第一次出現的位置，這正是我們想要的。對於right而言，同理將會停留在target最後一次出現的位置，最終返回的就是left和right的中位數。為了使其最終返回第一次出現的位置，那麼在median對應的值等於target的時候，繼續向左搜尋，即可最終到達left。

問題六，查詢元素不存在

假如查詢的元素不存在，演算法將會返回其按公升序排序應該插入的位置。如果想返回-1，需要在查詢過程中記錄是否找到了查詢的元素，以便進行區分。

//二分查詢指定元素target在序列a[0..n-1]中所在的位置

//無重複元素，遞迴實現
//輸入：乙個排序完成的序列a[0..n-1]以及其中的乙個元素target
//輸出：target在序列中所在的下標
int bs(int* a,int target,int n,int left,int right)
//二分查詢指定元素target在序列a[0..n-1]中所在的位置
//無重複元素，非遞迴實現
//輸入：乙個排序完成的序列a[0..n-1]以及其中的乙個元素target
//輸出：target在序列中所在的下標
int bs(int *a,int target,int n)
return -1;
}//二分查詢指定元素target在序列a[0..n-1]中所在的位置
//重複元素，遞迴實現，不考慮查詢元素不存在的情況
//輸入：乙個排序完成的序列a[0..n-1]以及其中的乙個元素target
//輸出：target在序列中所在的下標
int bs(int* a,int target,int n,int left,int right)
//二分查詢指定元素target在序列a[0..n-1]中所在的位置
//重複元素，非遞迴實現，查詢失敗返回-1
//輸入：乙個排序完成的序列a[0..n-1]以及其中的乙個元素target
//輸出：target在序列中所在的下標
int bs(int* a,int target,int n)
}if(***) return left;
else return -1;
}

基本操作：比較a[mid]和target

是否僅與問題輸入規模有關：否，需要考慮最好、最壞、平均

是否遞迴：二者複雜度一樣，分析遞迴

根據遞迴時間複雜度計算公式，a=1，b=2，f(n) = o(1)，代入得最壞時間複雜度為：o(logn)，最好時間複雜度為o(1)

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