很多有用的演算法結構上是遞迴的，為了解決乙個特定問題，演算法一次或者多次遞迴呼叫其自身以解決若干子問題。 這些演算法典型地遵循分治法的思想：將原問題分解為幾個規模較小但是類似於原問題的子問題，遞迴求解這些子問題， 然後再合併這些問題的解來建立原問題的解。
分治法在每層遞迴時有三個步驟：
現在我們就來看下歸併排序是是如何利用分治法解決問題的。
考慮我們排序這個陣列：[10,23,51,18,4,31,13,5] ，我們遞迴地將陣列進行分解
當陣列被完全分隔成只有單個元素的陣列時，我們需要把它們合併回去，每次兩兩合併成乙個有序的序列。
用遞迴**來描述這個問題：
def merge_sort(seq):
if len(seq) <= 1: # 只有乙個元素是遞迴出口
return seq
else:
mid = int(len(seq)/2)
left_half = merge_sort(seq[:mid])
right_half = merge_sort(seq[mid:])
# 合併兩個有序的陣列
new_seq = merge_sorted_list(left_half, right_half)
return new_seq
""" 合併兩個有序序列，返回乙個新的有序序列
:param sorted_a:
:param sorted_b:
"""length_a, length_b = len(sorted_a), len(sorted_b)
a = b = 0
new_sorted_seq = list()
while a < length_a and b < length_b:
if sorted_a[a] < sorted_b[b]:
a += 1
else:
b += 1
# 最後別忘記把多餘的都放到有序陣列裡
if a < length_a:
new_sorted_seq.extend(sorted_a[a:])
else:
new_sorted_seq.extend(sorted_b[b:])
return new_sorted_seq
這樣就實現了歸併排序，並且你會發現它返回乙個新的陣列而不是修改原有陣列。
我們來簡單看下它歸併排序的時間複雜度，假設排序 n 個數字時間複雜度是 t(n)，這裡為了方便假設 n 是 2 的冪
總的代價是 cnlg(n)+cncnlg(n)+cn ，忽略常數項可以認為是 o(nlg(n))。如果這個圖看不懂，我們自己求解下也不難，首先我們簡化一下， 把常數係數當成 1，得到以下遞迴式：
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