高德地圖相信大家一定都用過，每當我們輸入乙個目的地時，系統總是會幫助我們尋找一條最近的路。我們知道出發地到目的地可能有很多條路可以選擇，而高德地圖是怎樣做到為我們選擇更近的路呢？這一節的內容，我們就會來討論關於圖的最短路徑的問題。
在計算機裡，我們用有權圖來表示城市的路網，其中每個節點代表乙個地點，每條邊代表從乙個地方到另乙個地方的距離，資料結構我們使用鄰接矩陣的形式。
計算最短路徑分成兩種情況，一種是一次計算所有點對的最短路徑，就是下面我們要講到的弗洛伊德演算法；另一種是單源最短路徑，也就是計算某乙個節點到其他所有節點的最短距離，後面的迪克斯特拉演算法採用的就是這種方式。
從出發地到目的地的過程中，我們並不是一下子就到達目的地，而是要經過很多的中轉站來幫助我們一步一步地到達目的地。例如下面的圖中，假設 ab，bc 之間的距離分別為 7 和 2。我們看到，a 和 c 之間不能直接通達，因此，要計算 a 和 c 之間的距離，我們就要借助 b 來作為中轉站，因此 a 到 c 的距離為 7 + 2 = 9。
但是，單憑乙個中轉站在有些情況下也是不行的，比如從 d 到 f 就不能只通過乙個中轉站。
因此，計算所有節點之間的最短距離這個大問題可以分為借助
，其中
下面來談一下具體的求解過程，我們首先用鄰接矩陣來表示這張圖，其中
矩陣中每一項的數字代表邊的權重，也就是節點之間的距離。
上面的矩陣也可以代表在不借助中轉站的情況下（
只讓節點a作為中轉站，然後計算各節點的最短路徑，然後對於矩陣的每一項，我們比較d[i][j]和d[i][1]+d[1][j]的大小，然後取最小者作為d[i][j]的值。其中i和j分別代表矩陣的行和列。
計算後我們發現矩陣中的第 2 行第 5 列從原來的
說明從節點 b 到節點 e 的最短距離在當前狀態下為
。接下來，我們逐漸增加中轉站的個數，每增加乙個中轉站的個數，矩陣就更新一次。假設中轉站的個數為
那麼它與上乙個狀態
之間存在這樣的關係
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])，於是從
遞增到
每遞增一次，矩陣的值就更新一次，最後我們就得到所有點對的最短距離了。
用**表示這個過程非常簡單，只需要幾行就能實現：
def floyd(d):
n = d.shape[0]
for k in range(n):
for i in range(n):
for j in range(n):
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j])
return d
>>> python floyd.py
>>> [[ 0. 6. 4. 10. 1. 4.]
[ 6. 0. 2. 4. 5. 8.]
[ 4. 2. 0. 6. 3. 6.]
[10. 4. 6. 0. 9. 12.]
[ 1. 5. 3. 9. 0. 3.]
[ 4. 8. 6. 12. 3. 0.]]
由於程式中存在三重迴圈，所以弗洛伊德演算法的時間複雜度為
而鄰接矩陣有
項，因此空間複雜度自然就為
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