floyd演算法詳解：求解任意兩點間的最短距離
floyd-warshall演算法，簡稱floyd演算法，用於求解任意兩點間的最短距離，時間複雜度為o(n^3)。我們平時所見的floyd演算法的一般形式如下：
1void
floyd()
注意下第6行這個地方，如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在，程式中用乙個很大的數代替。最好寫成if(dist[i][k]!=inf && dist[k][j]!=inf && dist[i][k]+dist[k][j]，則c[i, j, 0] =邊的長度；若i= j ，則c[i,j,0]=0；如果g中不包含邊，則c (i, j, 0)= +∞。c[i, j, n] 則是從i 到j 的最短路徑的長度。
對於任意的k>0，通過分析可以得到：中間頂點不超過k 的i 到j 的最短路徑有兩種可能：該路徑含或不含中間頂點k。若不含，則該路徑長度應為c[i, j, k-1]，否則長度為 c[i, k, k-1] +c [k, j, k-1]。c[i, j, k]可取兩者中的最小值。
狀態轉移方程：c[i, j, k]=min，k＞0。
這樣，問題便具有了最優子結構性質，可以用動態規劃方法來求解。
為了進一步理解，觀察上面這個有向圖：若k=0, 1, 2, 3，則c[1,3,k]= +∞；c[1,3,4]= 28；若k = 5, 6, 7，則c [1,3,k] = 10；若k=8, 9, 10，則c[1,3,k] = 9。因此1到3的最短路徑長度為9。
下面通過程式來分析這一dp過程，對應上面給出的有向圖：
1#include
<
iostream
>
2using
namespace
std;34
const
intinf
=100000;5
intn=10
,map[
11][
11],dist[
11][
11][
11];
6void
init()
17void
floyd_dp()29}
30int
main()39}
40return0;
41}輸入 1 3
輸出 +∞
+∞+∞
+∞28
1010109
99floyd-warshall演算法不僅能求出任意2點間的最短路徑，還可以儲存最短路徑上經過的節點。下面用精簡版的floyd演算法實現這一過程，程式中的圖依然對應上面的有向圖。
1#include
<
iostream
>
2using
namespace
std;34
const
intinf
=100000;5
intn=10
,path[
11][
11],dist[
11][
11],map[
11][
11];
6void
init()
17void
floyd()
28void
output(
inti,
intj)35}
36int
main()47}
48return0;
49}輸入 1 3
輸出 1 2 5 8 6 3
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