置換：僅僅是乙個群到自身的對映！！就是把元素換個地方哪種說法
群在集合上的作用成為了連線抽象群與變換群的橋梁，因為群g中每乙個元素g在集合上面的這個作用（對映）σ
g\sigma_g
σg都是集合x到自身的乙個一一對映，i.e
.σg∈
s(x)
i.e. \ \sigma_g\in
i.e.σg
∈s(
x)
證明單對映→所謂軌道就是乙個等價類，這個等價類裡面的元素就是能產生關聯的所有元素。比如1在作用下變成了2，原來集合裡面的2變成了5，然後傳下去…如果恰好5變成4，4變成1，那就說明是乙個等價類了，3會和別的什麼東西形成等價類。\to→證明π−1
(π(x
))=x
,x
\pi^(\pi(x))=x,x
π−1(π(
x))=
x,x為乙個集合
這個時候「傳遞的」的意思就是這個x集合裡面的全體元素形成乙個等價類，x集合裡面只有乙個等價類！
一子群h對群g的指數定義為g對h的陪集的集合的基數，即陪集的數目，記為 [g:h]
注意：指數將群與子群的階連線起來，下面的拉格朗日定理將元素的階與群的階聯絡起來
o(g) = [g:h]*o(h)
(拉格朗日定理)乙個有限群g的任乙個元a的階n，n∣∣子群的階必然能夠整除群的階！g∣
n||g|
n∣∣g
∣推論：階為素數的群為迴圈群
有限群中元素的階必然能夠整除群的階數！
聯絡單群，由於單群是沒有非平凡的正規子群，因此對於乙個交換群來說，**判定單群完全可以通過是不是素數階的迴圈群**來作為判定方法---由於沒有非平凡的子群意味著這個群是乙個單位群...(教材p65)
群的階數與群的指數
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