example:有個求最小化的優化問題，2個變數，兩個目標函式，目標1的空間曲線如下圖所示
目標1空間曲線
目標2的空間曲線：
目標2空間曲線
現在在設計空間均勻的取點陣，然後計算所有點的真實目標值，便可以得到解空間和目標空間的分布情況了，如下圖所示：
左圖是解空間的均勻點陣，右圖是對應的目標空間兩個目標的值
可以很清晰的看到，右圖紅色點不被任意其他點支配，所以是pareto 前沿點（如果解空間點陣足夠密集，就是一條線了），左圖的設計空間的紅色點，就是其對應的pareto最優解集，所以現在的一些多目標優化演算法主要就是求解問題的pareto前沿或者近似前沿。從目標空間來看，就是他的邊界了。
下面是原回答：
發現乙個奇怪的現象，平時看東西看得挺多的，但是過了不久就又忘記了，而且也說不出個所以然來，可能就是沒有好好的消化，總結吧。因此想到了把平時學的一些東西，用知乎記下來，一來作為自己的乙個總結，方便後續的複習，二來假如有人能夠看到的話對其有幫助也不錯，能夠提一些意見就再好不過了。
步入正題：聽了好幾次師兄講解帕累託最優，多目標優化的內容，奈何組會時間太短，短時間根本無法理解（智商原因），所以昨晚突發奇想查了一些資料，發現配合例子講解很容易明白
多目標優化問題生活中很常見，比如汽車車身零部件設計中，要求設計的零件剛度要很大，同時質量很輕，這就是乙個兩目標問題，同時他還有一些條件約束，比如模態約束，尺寸約束等。再者金融領域中，我們希望投入的資金少，風險小，並且獲得的利益最大，這就是乙個三目標問題，但是掰著腳趾頭都知道同時達到這三個目標是不可能的，多目標優化就是給出他的一些列可能的選擇，然後使用者自己去評判想選誰，哈哈，是不是很雞肋。
多目標優化問題的數學模型一般可以寫成如下形式
1：解a優於解b（解a強帕累託支配解b）
假設現在有兩個目標函式，解a對應的目標函式值都比解b對應的目標函式值好，則稱解a比解b優越，也可以叫做解a強帕累託支配解b，舉個例子，就很容易懂了
下圖中代表的是兩個目標的的解的情況，橫縱座標表示兩個目標函式值，e點表示的解所對應的兩個目標函式值都小於c，d兩個點表示的解所對應的兩個目標函式值，所以解e優於解c,d.
2：解a無差別於解b（解a能帕累託支配解b）(修改：此處的「能」應該是與前文的「強」對應，時間比較久了，a,b兩點嚴格意義上是非支配關係)
同樣假設兩個目標函式，解a對應的乙個目標函式值優於解b對應的乙個目標函式值，但是解a對應的另乙個目標函式值要差於解b對應的乙個目標函式值，則稱解a無差別於解b，也叫作解a能帕累託支配解b，舉個例子，還是上面的圖，點c和點d就是這種情況，c點在第乙個目標函式的值比d小，在第二個函式的值比d大。
3：最優解
假設在設計空間中，解a對應的目標函式值優越其他任何解，則稱解a為最優解，舉個例子，下圖的
4：帕累託最優解
同樣假設兩個目標函式，對於解a而言，在 變數空間 中找不到其他的解能夠優於解a（注意這裡的優於一定要兩個目標函式值都優於a對應的函式值），那麼解a就是帕累託最優解，舉個例子，下圖中應該找不到比
5：帕累託最優前沿
還是看 剛才 那張圖 ，如下圖所示，更好的理解一下帕累託最優解，實心點表示的解都是帕累託最優解，所有的帕累託最優解構成帕累託最優解集，這些解經目標函式對映構成了該問題的pareto最優前沿或pareto前沿面，說人話，即帕累託最優解對應的目標函式值就是帕累託最優前沿。
對於兩個目標的問題，其pareto最優前沿通常是條線。而對於多個目標，其pareto最優前沿通常是乙個超曲面。
多目標優化 帕累託（Pareto）
參考與這個鏈結的部落格 1 多目標優化簡介 2多目標優化數學語言描述 3 多目標優化的pareto佔優 在現實生活中有很多的問題都是由互相衝突和影響的多個目標組成，這些目標不可能同時達到最優的狀態，我們通常會盡量讓這些目標在一定的區域內達到最佳的狀態，這就是多目標優化。多目標優化問題是由多個目標函式...
多目標優化之帕累託最優
維基百科 帕累託最優是指資源分配的一種理想狀態。給定固有的一群人和可分配的資源，如果從一種分配狀態到另一種狀態的變化中，在沒有使任何人境況變壞的前提下，使得至少乙個人變得更好，這就是帕累託改善。帕累託最優的狀態就是不可能再有更多的帕雷託改善的狀態 換句話說，不可能在不使任何其他人受損的情況下再改善某...
多目標優化問題 投資組合的多目標優化
一 多目標問題 二 多目標規劃有效解 1 有效點 參考定理 2 凸多目標規劃 詳細見參考文獻1 3 絕對最優解 有效解 弱有效解 絕對最優解 有效解與弱有效解 4 真有效解 由於有效解的範圍過大，有時候要在要在有效解的範圍內加以限制定義了真有解。根據不同的限制定義了許多不同的真有效解。5 極錐解與非...