極限定義裡,為什麼用「存在」「任意」「不等式」的數學語言來定義極限?怎樣將普通語...
樓主的問題顯然是有備而來,是經過嚴格邏輯分析後有感而發的問題。確確實實,我們的高數教師,在教極限時,其實他們的大多數,也只是跟著和尚就念經,跟著道士就畫符。解釋來解釋去就是那麼死板板的幾句話,連他們自己也沒有make sense,教師如此,教科書如此,學生也只能以葫蘆畫瓢,難以徹底理解。 下面嘗試一下,看看能不能把問題說清楚。 1、極限的英文是limit,它有兩個意思,漢語翻譯成「極限」,其實是有點誤導, 但是我們也沒有更合適的詞語。這兩個意思的第一層是：限制、限定、範圍、 極端、最後、、、、等等。 譬如我們說人的體能極限,人的壽命極限,人的 身高極限,人跑路速...全部
樓主的問題顯然是有備而來,是經過嚴格邏輯分析後有感而發的問題。確確實實,我們的高數教師,在教極限時,其實他們的大多數,也只是跟著和尚就念經,跟著道士就畫符。解釋來解釋去就是那麼死板板的幾句話,連他們自己也沒有make sense,教師如此,教科書如此,學生也只能以葫蘆畫瓢,難以徹底理解。
下面嘗試一下,看看能不能把問題說清楚。 1、極限的英文是limit,它有兩個意思,漢語翻譯成「極限」,其實是有點誤導, 但是我們也沒有更合適的詞語。這兩個意思的第一層是：限制、限定、範圍、 極端、最後、、、、等等。
譬如我們說人的體能極限,人的壽命極限,人的 身高極限,人跑路速度的極限等等,都是這個意思。我們在這方面強調的過 多,結果給很多學生產生了致命的影響,很多一輩子都跨不過這一道門檻。
舉例說明： a、y = 1/x 的圖形,x越來越大,1/x越來越小,會碰到x軸嗎?當然不會。 但是很多教師不懂教學心理學,不懂教學法,他們會反反覆覆強調此圖形 「永遠不會,永遠不會」與x軸重合?需要這麼強調嗎?這麼強調會產生什麼 樣的心理暗示?會造成什麼樣邏輯致命傷?他們從來都是眼高手低,不會 去在意這些。
鬼子的教學也有類似問題,他們的說法是never touch,never touch,never touch。問題沒有我們嚴重,至少他們還有理論家,他們還會不 斷地提出乙個又乙個新理論,還會不斷地將舊理論推陳出新。
而我們呢? 我們沒有任何定量理論,我們沒有這方面的文化,喜歡質疑的學生會被罵 死,死記硬背的學生最受寵愛。 b、0。9嚴格等於1嗎?當然不對。 0。
99嚴格等於1嗎?當然不對。 三個9呢?四個9呢?無限個9呢? 你問一問你周圍的人,0。9迴圈是大概等於1? 還是嚴格等於1?沒有一絲一毫誤差? 你一定要強調沒有一點點誤差,沒有絲毫的誤差,是絕對的嚴格的相等。
他們的答覆是：近似等於1,還是有一點點的誤差。 好!他們全部上了賊船,全部上當! 接下來你問他們九分之一,化成小數是多少,他們毫不猶豫地說0。11。
到這裡為止他們還是渾然不覺,不知道上當。 你再問他們兩邊都乘以9,會怎樣?他們依然還是多數人混混噩噩, 他們自己打了自己的耳光還不知道。這就是我們的悲哀,我們的大學生中, 絕大部分是沒有研究能力的,問題送到嘴邊,他們不但不能領會,還會跟 你死命講述他們的歪理,拒絕接受。
這樣的榆木疙瘩學生是主流。2、上面的兩個例子結合起來仔細考慮,你就會發現我們古代雖然有極限概念, 有詭辯學,但是我們把他們當成了荒唐的理論,我們就裹足不前了,落後 就是從極限開始的。
3、就是因為tendency我們忽視了,我們就開始落後了。鬼子卻在此基礎上突飛猛進。 第乙個理論就是極限理論,極限理論的第一步就是precise method,我們的翻譯 非常誇張,我們翻譯為epsilon-delta語言(ε-δ語言)。
這個方法的實質樓主已經知 道,這是乙個辯論的過程,乙個爭吵的過程,乙個無窮列舉法化成數學歸納法的 過程。這個歸納的思想跟歸納法是相通的,只是沒有用歸納法的三段論方法進行, 而是換了乙個數學計算的過程,所以,這是數理邏輯。
辯論是這樣的： 我說f(x)最後的結果是f(a),也就是說f(x)與f(a)最後的差值要多小有多小,要小到 什麼程度就可以小到什麼程度,你給了乙個很小很小的數,這個數就是ε。
也就是說,「任意」二字,是指你可以給出任意小的數,是你任意給的,任意小的數。 只要你給得出,我總可以算出乙個區間,當我的x,goes到這個去間內,f(x)與f(a) 的差值就可以小於這個ε了。
ε是你給出的,要多小有多小的任意的數。你給出後,我就認認真真地算了一下, 你只要給得出,我就能算得出乙個範圍,我總能算得出乙個範圍,這個範圍的確定 是根據你的ε算出來的,所以說「存在」,這個存在的範圍不是固定的。
可能我根據你 ε一下子找不到乙個簡單的範圍,我為了能保證差值小於ε,我可能將你的ε改得更小, 為的只是能解出乙個範圍,進入了這個範圍,f(x)與f(a)的差值更小於ε,總存在是概 念上的問題,能不能找到是解題技巧上的問題。
其實,ε是不需要具體給出的,具體給出的數,就不是任意小了。 這個ε只是論證過程中的乙個例子,它可以不斷地更改,不斷地反悔。所以,這個ε 只是乙個原則性的數,有了ε,就能找到乙個區間δ,x進入了δ的範圍內。
我就證明 了f(x)與f(a)的差值的絕對值小於ε了。 而不等式的概念就是我們的f(x)與f(a)的差值必須限制在ε之內。不清楚,我有沒有把問題解釋清楚?加油吧!科學需要質疑!而我們最缺乏的就是質疑精神。
我們這一代已經徹底報廢,希望在你們!歡迎追問。收起
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