如何理解極限的定義

極限是研究變數變化的過程，並通過變化的過程來把握變化的結果。一般來說乙個函式某個點的結果是由函式確定了的，所以乙個函式某個點的值一般就等於其極限。除非是提前，把那個點給挖走了，否則在那個變化過程中是沒有什麼辦法能阻止變化的趨勢的。但是也不能說極限就一定等於其函式值。

要理解好極限的定義，可以先從簡單的，描述性的定義入手，然後再轉到嚴格的數學定義上去。

描述性定義是這樣的：當自變數x無限接近於定點 x0 時，函式 f(x) 無限接近於定值 a,那麼定值 a 就稱做函式 f（x）在x0的極限，記做 f '(x) = a.

換成更通俗的語言：你這樣變的時候，我就那樣變。

但是這個定義雖然形象，但是無限接近是怎麼個接近，這種詞語只能用在文學創作上，不能用在數學定義上。

所以這裡的關鍵是如何用數學語言來表達無限接近。

換個思維，無限接近實際上就是距離越來越少。所以可以將「自變數x無限接近於定點 x0」，轉變成動點x離定點x0的距離 |x-x0|越來越小 ,如果 |x-x0| < a ,而且a又是可以要多小就有多小的正數，就用數學表達了無限接近的意思了。

我們再來看看極限的標準數學定義：

設函式是f(x)在某去心鄰域有定義，如果存在常數a,對於任意給定的正數@（無論多麼小），總存在正數&，使得當x滿足不等式的時候0<|x-x0|<&時，對應的函式值滿足：

|f(x)-a|<@ ,那麼常數a就叫做f(x)的極限。

可以把這個定義的句子順序調一下，就看的更清楚：

如果 0< |x - x0| < & （&為任意正數），|f(x)-a| < @ （@ 任意小），常數a 就叫做 f(x) 的極限。

ok，就是這麼簡單，理解這個定義的關鍵點就是明白無限接近某個數等價於用乙個動點減去哪個定點的絕對值來表示。