最小二乘擬合 6 7 最小二乘擬合問題

2021-10-12 18:25:11 字數 729 閱讀 9012

資料擬合問題的一般形式:

任給一組離散資料

(注:這裡的擬合函式不一定為多項式函式)

記殘量的平方和為:

求使得殘量平方和最小得一組係數就是線性最小二乘問題,

為最小二乘問題得基函式,求得的擬合函式為資料的最小二乘擬合。

求解:利用偏導數為零得到極值點的原理可以得到最小二乘問題滿足的方程組,求解方程組中未知係數(也就是擬合函式中的引數)即可。

點集函式的內積:

內積的三條基本性質:1.非負性 2.對稱性 3.線性性

通過引入點集函式的內積,便可將上面的方程組寫成矩陣的形式:

上面的係數矩陣被稱為gram矩陣

注意:僅憑函式系的線性無關性推不出gram矩陣非奇異

如: 故必須加上下面的haar(哈爾)條件:

函式系

的任意線性組合在點集

上至多有n個不同的零點,則稱函式繫在該點集上滿足harr條件。

定理:若函式繫在該點集上滿足harr條件,則得到的gram矩陣是可逆的。

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