近 世 代 數 系 列 11本期導言上一期我們講了群同態基本定理的第一同構定理
定理 1 (第一同構定理)
假設ϕ:
g →
h 是乙個群同態, 那麼
ϕ: g/ker
ϕ→im
ϕakerϕ ↦
ϕ(a)
是群同構.但我還是看不出來為啥
s 4
/k4≃
s 3這一期我們就聊聊第一同構定理的兩個應用第二同構定理第三同構定理其實它們的本質都是第一同構定理, 但有時候直接用另外兩個同構定理會更方便. 1第二同構定理第二同構定理就是針對
s 4
/k4這種情況.如果用第一同構定理, 要證明
s 4
/k4≃
s 3最自然的想法是找乙個從
s 4到
s 3的群的滿同態
ϕ使得kerϕ=
k 4, 但想來想去, 好像不太好找這麼乙個群同態. 倒過來
s 3反而可以看成
s 4的子群. 等等！你說什麼？
s 3是
s 4的子群？是呀, 怎麼了？我這裡
k 4可是
s 4的正規子群！是呀, 又能咋地？子群和正規子群, 子群和正規子群. . . 它們乘起來還是
s 4的子群呀. 對哈, 它們乘起來是哪個子群呢？
s 3
= k 4
= 它們的乘積
s 3
k 4同時包含
s 3和
k 4.取(12)∊
s 3
,(12)(34)∊
k 4這兩個元素都在
s 3
k 4中因此它們的乘積也應該在
s 3
k 4中, 所以
(34)
=(12)(12)(34)∊
s 3
k 4同樣的道理(13)∊
s 3
,(13)(24)∊
k 4(23)∊
s 3
,(14)(23)∊
k 4從而
(24)
=(13)(13)(24)∊
s 3
k 4
(14)
=(14)(23)(23)∊
s 3
k 4請注意看上面這些藍色元素
由於s 4中元素都可以寫成對換的乘積, 因此這些乘積還在
s 3
k 4中(誰叫咱是子群呢). 所以
s 3
k 4
= s
4這樣有個好處
k 4的左陪集代表元可以全取
s 3中元素即
s 4
/k4 =
這樣我們可以建立乙個從
s 3到
s 4
/k4的群的滿同態呀！
ϕ: s 3
→ s
4 /k
4 σ ↦
σk4其kernel是什麼呢？ker
ϕ=
= = s
3∩k 4由第一同構定理
s 3
/(s 3∩
k 4)≃
s 4
/k4但是
s 3∩
k 4
= 因此
s 3≃
s 3
/(s 3∩
k 4)從而
s 3≃
s 4
/k4oh yeah!終於證明成功！總結下我們遇到了什麼情況. 群
g有兩個子群
h和n其中
n是g的正規子群.
hn還是
g的子群並且
n⊲hn
hn關於
n的商群就會是這樣
hn/n
= 於是我們就愉快的構造了乙個群同態
ϕ: h →
hn/n
h ↦
hn這是乙個滿同態, 且ker
ϕ=
= = h∩
n由第一同構定理
h/(h∩
n)≃hn/n這就是我們的
定理 2 (第二同構定理)
假設h 是群
g 的子群, 而
n 是
g 的正規子群, 那麼
h/(h∩
n)≃hn/n這個定理可以用乙個圖來描述
g =gl
2(ℂ)
,h=sl
2(ℂ)
,n=
容易發現
hn= g
, h∩
n =
由第二同構定理
hn/n≃
h/(h∩
n)即gl
2(ℂ)
/ℂ∗ i
2≃sl
2(ℂ)
/ 左邊這個商群是
射影一般線性群
(projective general linear group), 右邊這個商群是
射影特殊線性群
(projective special linear group). 分別記為pgl
2(ℂ)
,psl
2(ℂ)
在2階的時候, 雖然sl
2(ℂ)
比gl2(ℂ)
小很多, 但當對它們取「射影」版本時, 它們就同構了. 2第三同構定理第三同構定理考慮的是這樣一種情形
k⊲g,n⊲
g k⊆
n⊆g例如24ℤ⊆6ℤ⊆ℤ這時有兩個商群
g/k,g/n對於
k的每乙個左陪集
gk, 顯然
gk⊆gn我們斷言
gn是唯一包含gk的n的左陪集實際上, 假設
an是另乙個包含
gk的左陪集, 特別的
g∊an但這樣一來, 由第7期命題3
gn= an這樣我們可以建立乙個簡單的滿同態
π: g/k
→ g/n
gk ↦
gn其kernel是==
n/k由第一同構定理, 我們得到(
g/k)
/(n/k)≃
g/n這就是
定理 3 (第三同構定理)
假設n 和
k 是
g 的正規子群且
k⊆n⊆
g 則(
g/k)
/(n/k)≃
g/n例 2
假設d|
n 是兩個正整數, 那麼
nℤ⊆dℤ⊆ℤ
它們顯然都是ℤ
的正規子群. 由第三同構定理(ℤ
/nℤ)
/(dℤ
/nℤ)≃ℤ
/dℤ即ℤ
n /dℤ
n≃ℤ點在看、
**、we math together!
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