求用不動點的原理,求數列通項的例子
數列中,a1=1,a2=2,a(n+2)=-a(n+1)+2an (a後的括號代表下標)求an通項
這道體我當時記了個方法：原式變形後 a(n+2)+a(n+1)-2an＝0
令 x^2+x-2=0 解得x=-2 或 1 所以｛a(n+1)-an｝為公比-2的數列；｛a(n+1)+2an｝為公比1的數列
然後聯立 解出來
上述方法,應該說是特徵根法和不動點法.
特徵根：
對於多個連續項的遞推式(不含常數項),可化為x的(n-1)次方程.
即：a0*an+a1*an+1+a2*an+2+...ak*an+k可寫為：
a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0
然後求出根(實根虛根都可以),不同項寫成c*x^(n-1),相同項寫成關於n的整式,有多少同根,n的次數就是同根數減1,比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通項就是：a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定係數,要靠已知項聯立方程求解.
不動點：
比如：已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大於等於1),求an
a(n+1)=(an+2)/an(*)
令an=x,a(n+1)=x
x=(x+2)/x
x^2-x-2=0
x1=2,x2=-1
為等比數列
令(an-2)/(an+1)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)]
(將a(n+1)用*式換成an)
=-1/2
b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1)
an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1
注：形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d),a,c不為0的分式遞推式都可用不動點法求.讓a(n+1)=an=x,代入化為關於x的二次方程
(1)若兩根x1不等於x2,有為等比數列,公比由兩項商求出
(2)若兩根x1等於x2,有為等差數列,公差由兩項差求出
若無解,就只有再找其他方法了.
並且不動點一般只用於分式型上下都是一次的情況,如果有二次可能就不行了.
對於原理,要大學才學,是建立在對方程的研究之上的.
作業幫使用者
2016-11-26
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