推到 旋轉矩陣公式 旋轉矩陣公式推導

1.在二維平面中：如下圖所示，在xoyxoy平面中有一向量op⃗ =(x,y)top⃗=(x,y)t，旋轉ϕϕ角後變為向量op⃗ ′=(x′,y′)top⃗′=(x′,y′)t。

據圖可得：x=|op⃗ |cosθ；y=|op⃗ |sinθx=|op⃗|cosθ；y=|op⃗|sinθ，經旋轉ϕϕ角後有:

x′=|op⃗ |cos(θ+ϕ)=|op⃗ |(cosθcosϕ−sinθsinϕ)=xcosϕ−ysinϕx′=|op⃗|cos(θ+ϕ)=|op⃗|(cos⁡θcos⁡ϕ−sin⁡θsin⁡ϕ)=xcos⁡ϕ−ysin⁡ϕ

y′=|op⃗ |sin(θ+ϕ)=|op⃗ |(sinθcosϕ+cosθsinϕ)=xsinϕ+ycosϕ；y′=|op⃗|sin(θ+ϕ)=|op⃗|(sin⁡θcos⁡ϕ+cos⁡θsin⁡ϕ)=xsin⁡ϕ+ycos⁡ϕ；

寫成矩陣形式：

(x′y′)=(cosϕsinϕ−sinϕcosϕ)(xy)(x′y′)=(cos⁡ϕ−sin⁡ϕsin⁡ϕcos⁡ϕ)(xy)

2.在三維空間中：如下圖所示，若以座標系的三個座標軸x、y、z分別作為旋轉軸，則點實際上只在垂直座標軸的平面上作二維旋轉。

例： op⃗ op⃗繞x軸旋轉ϕϕ角，有：

旋轉前：

旋轉後：

寫成矩陣形式：

則繞x軸旋ϕ角的旋轉矩陣為： rx(ϕ)=(1000cosϕ−sinϕ0sinϕcosϕ)rx(ϕ)=(1000cos⁡ϕsin⁡ϕ0−sin⁡ϕcos⁡ϕ)

同理可得繞x、y、z軸旋轉的不同角度的旋轉矩陣(方向余弦矩陣)分別為：

最後，若op⃗ op⃗繞某一定軸旋轉，從尤拉定律中可知，繞著固定軸做乙個角值的旋轉，可以被視為分別以座標系的三個座標軸x、y、z作為旋轉軸的旋轉的疊加。

原文：

旋轉矩陣公式推導

1.在二維平面中 如下圖所示，在xo y 平面中有一向量op x y t 旋轉 角後變為向量op 據圖可得 x op cos y op sin 經旋轉 角後有 x op co s op cos cos si n si n xcos ys in y op sin o p sin cos cos sin...

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