數理邏輯蘊含 數理邏輯(1) 命題邏輯的基本概念

2021-10-13 08:37:32 字數 1954 閱讀 2219

學習階段:自由。

前置知識:基本的邏輯思維。

很多人連基本的邏輯關係都搞不清,在這個系列科普一下離散數學中的數理邏輯。

1. 命題

命題(proposition)就是非真即假的陳述句。命題的真假,稱為真值,「真」記為t(true)或1,「假」記為f(false)或0. 因為真值只有兩種,這種邏輯也稱為二值邏輯。(在真值不止2種時,稱為多值邏輯,或模糊邏輯,本系列不作介紹。)

比如說「三角形內角和為180°」是真命題;「三角形都是等邊三角形」是假命題;哥德**猜想是個命題,目前不知其真假。

數學上,為了符號化,用字母來表示任意命題,稱為命題變項/命題變元。例如,可以用

2. 命題聯結詞

命題聯結詞(connective)可以把命題與命題聯結起來,構成新的命題。命題聯結詞是命題的運算子,相當於1+2中的「加號」。

2.1 常用的五個命題聯結詞

常用的命題聯結詞有

否定詞(negative)作用於1個命題,類似於生活中的「非」。

讀法:讀作「

」。定義:為真,當且僅當

為假。真值表:否定詞的真值表合取詞

合取詞(conjunction)作用於2個命題,類似於生活中的「且」。

讀法:讀作「

」或「

」。定義:為真,當且僅當

和 都為真。真值表:合取詞的真值表析取詞

析取詞(disjunction)作用於2個命題,類似於生活中的「或」。【析:分析,分開。析取:即分開取。】

讀法:讀作「

」或「

」。定義:為假,當且僅當

和 都為假。真值表:析取詞的真值表蘊含詞

蘊含詞(implication)作用於2個命題,類似於生活中的「推出;如果...,那麼...」。

讀法:讀作「

」或者「

」。定義:蘊含詞有多種定義方式,我們這裡介紹最常見的一種定義,

為假,當且僅當

真而 假。真值表:蘊含詞的真值表

中, 稱為前提/前件,

稱為結論/後件。這個復合命題稱為假言命題/條件命題。

【當為假時,實際上

的情況是未知的。為了讓蘊含詞有乙個明確的定義,本著不輕易進行否定的思想,作了這種定義。】雙條件詞/等價詞

等價詞(equivalence)作用於2個命題,類似於生活中的「當且僅當」。

讀法:讀作「

」或者「

」。定義:為真,當且僅當

與 真值相同。真值表:等價詞的真值表

2.2 相關符號

數理邏輯中的命題聯結詞,在其他領域也有類似的應用。例如集合論中的補集

、交集

、並集

;數位電路中的非運算

、與運算

、或運算

等等。2.3 簡寫約定

為了簡化書寫,規定五個聯結詞的優先順序順序是

,左邊的運算子比右邊的運算子優先。另外,同級運算子從左往右算。比如說

的含義是

.3. 命題公式的真值與分類

對於乙個命題公式

,它的真值完全由其成分命題

所決定。對所有的成分命題進行一種賦值,稱為一種指派(assignment);一種指派再加上

對應的真值,稱為命題公式

的一種解釋(interpretation)。如下圖真值表所示:指派與解釋

含有個成分命題的公式

有 種指派、解釋,完整的真值表也就是

行。根據命題公式的取值情況,可以對其進行分類:重言式/永真式(tautology)【重(chóng)言:反覆說,猶指「廢話」。】

即任一解釋的真值都為1的命題公式。如

是重言式。矛盾式/永假式/不可滿足式

即任一解釋的真值都為0的命題公式。如

是永假式。僅可滿足式/可真可假式

即解釋中有的真值為1,有的真值為0的命題公式。如

是僅可滿足式。

還有諸如可滿足式、非永真式等等類別,如下圖所示:命題公式的分類

數理邏輯蘊含 數理邏輯(1) 命題邏輯的基本概念

學習階段 自由。前置知識 基本的邏輯思維。很多人連基本的邏輯關係都搞不清,在這個系列科普一下離散數學中的數理邏輯。命題 proposition 就是非真即假的陳述句。命題的真假,稱為真值,真 記為t true 或1,假 記為f false 或0.因為真值只有兩種,這種邏輯也稱為二值邏輯。在真值不止2...

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