這節開始跳到第三章，其實第二章還有好多內容，但冗長沉悶，也不知道後面是否能用上。所以，先跳到第三章，若需要用到第二章剩餘的內容，再跳回去。
自然數和幾何，應該是人類最古老的兩大數學分支。所以，任何試圖建立數學根基的系統，都避免不了要對自然數系統進行「基礎化」。何為自然數？自然數的加減乘除的本質是什麼？這當然是很高深的問題，再尋根問底可以跑到哲學的領域，就像柏拉圖筆下的蘇格拉底說的：」我現在彷彿什麼都不知道了，比如最簡單的數字我也不知道了。2是什麼？顯然世界上並不存在2。它是1+1嗎？我不知道是那個被加的1因為被加上了1而變成了2，還是那個加上的1因為加上另乙個1而變成了2，我什麼都不知道。「
當然，柏拉圖這番言論實際上是在討論他的」相論「，但自然數的奧秘值得進一步深入討論。本章就試圖通過一階形式邏輯來建立自然數系統，最終引發自然數系統的一致性與完備性的討論。
自然數的形式化與公理化最早由德國數學家richard dedekind在2023年給出，而後義大利數學家giuseppe peano稍微簡化了下，形成了至今流行的peano postulates（中譯：皮亞諾公設）：
上述公理，再加上一些集合論的東西，不僅可以發展出自然數系統，還可發展出有理數、實數、複數系統。但上述公理的p5中包含」性質「這樣不夠嚴謹的表述，所以接下來我們就嘗試對借助peano公理的精神，用一階邏輯重新建立一套自然數系統，並且」盡量沒有遺漏「任何自然數的性質。
這個一階邏輯系統記為
s，它的一階語言記為la
，稱為代數語言。la
只有乙個謂詞（predicate letter），記為a2
1 ，它包含兩個輸入，所以a2
1(t,
s)可簡寫為t=
s 。la
有乙個常數符號a1
，為了習慣自然數系統的表達方式，我們可用
0 來表示a1
。最後，la
有三個函式符號f1
1 ，f2
1 和f2
2 ，也可用t′
，t+s 和t⋅
s 簡寫表示。la
語言：la
語言對應的一階邏輯系統
s
以上九套公理，加上一階邏輯系統的那5套邏輯公理，就構成了形式數論的公理。這九套公理仔細一看，幾乎」全是廢話「，但它們就是為了讓我們對自然數的直覺是」有理有據「的。最後一套公理建立了自然數系統的」數學歸納法「，稱為數學歸納法原則。任何與
s 具有相同公理的系統，通常稱為」皮亞諾代數」，簡稱pa。
有了系統
s，接下來就是要證明這個系統的確是」含等式的一階邏輯系統「，也即要證明（檢視上一節筆記）
為了達到這一目的，先證明一大堆」常識性「的引理和定理。
引理3.1：對於任意項
t ,s,
r ，以下wf是
s的定理。
（s1』）-（s8』）的證明採用和（s1』）同樣的技巧即可。
數理邏輯3 形式數論13
哥德爾第一不完備定理的乙個不嚴謹的版本是 如果理論k是一致的，那麼存在乙個好式子g，k g不成立，k g也不成立。當然，嚴謹的版本要對理論k有所限定，還要對 一致性 加以定義。但上述不嚴謹的說法就是哥德爾第一不完備定理的通俗解釋。哥德爾天才的地方在於他巧妙地證明了這點，他找到了這樣乙個好式子g。這樣...
數理邏輯1 命題演算3
形式理論 formal theory 上一節給出了一套命題演算系統的語言，接下來我們就基於這套語言，定義乙個 公理化的命題演算系統 即 形式理論 我們感興趣的是假定一些wf已存在 公理 和一套推導規則，我們能推導出何種wf，或者說判定某些wf能否被證明。形式理論的目的就在於研究在不同公理和不同推導規...
數理邏輯蘊含 數理邏輯（1） 命題邏輯的基本概念
學習階段 自由。前置知識 基本的邏輯思維。很多人連基本的邏輯關係都搞不清，在這個系列科普一下離散數學中的數理邏輯。1.命題 命題 proposition 就是非真即假的陳述句。命題的真假，稱為真值，真 記為t true 或1，假 記為f false 或0.因為真值只有兩種，這種邏輯也稱為二值邏輯。在...