離散數學第6章關係

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r =

如果a == b，則稱r為a上的關係

y1y2

x1x2

x3這個矩陣就是x x y的笛卡爾積，然後定義關係r10

0111

把對應元素取出來，r =

記作x1ry1, x2ry2…

∅

\emptyset

∅是axa的子集，故為一種關係

y1y2

y3x1

nannan

nanx2

nannan

nanx3

nannan

nan畫不出矩陣。

只要記住空集的空關係具有關係的5大性質: 自反，反自反，對稱，反對稱，傳遞性；這全部是由false->true推出來的。

r = 全1

i

ai_a

ia​ = 單位矩陣

轉置矩陣，但是要寫成r−1

r^r−

1

全自環 或 空集上的空關係(可以理解為某種程度上的自環)

i a⊆

ri_a \subseteq r

ia​⊆

r

無自環

無單邊

r =r

tr = r^t

r=rt

，但是在本書裡面逆關係用r−1

r^r−

1表示，所以變成了r=r

−1r = r^

r=r−

1

無雙邊

r ∩r

−1⊆i

ar \cap r^ \subseteq i_a

r∩r−1⊆ia​

雙邊必雙環&& 三角必向量 && 無雙邊無三角時所有通路長度 <= 1

a ij

∗ajk

⇒aik

aij * ajk \rightarrow aik

aij∗aj

k⇒aikr2

⊆rr^2\subseteq r

r2⊆r

自反 + 對稱 + 傳遞

此時xry記作x~y

x∈[

a]r∩

s⟺a>∈r

∩s⟺x

ra∧x

sax \in [a]_ \iff \in r\cap s \iff xra \land xsa

x∈[a]r

∩s​⟺

a>∈r

∩s⟺x

ra∧x

sa

( a∪

b)−1

=a−1

∪b−1

(a\cup b)^ = a^ \cup b^

(a∪b)−

1=a−

1∪b−1(r

○s)−

1=s−

1○r−

1(r○s)^ = s^ ○ r^

(r○s)−

1=s−

1○r−

1滿足結合律，滿足∪

\cup

∪的分配率

矩陣乘法，記作○

a ○b

=a ○ b = \

a○b=

在圖中新增盡可能少的邊，使得r具有某些性質，具有極小性。

r(r

)=r∪

iar(r) = r \cup i_a

r(r)=r

∪ia​

s(r

)=r∪

r−1s(r) = r \cup r^

s(r)=r

∪r−1

t(r

)=∪1

n−1r

it(r) = \cup_1^ r^i

t(r)=∪

1n−1​ri

反對稱 + 傳遞 + 自反

如果是反自反則稱為嚴格偏序

pair哈斯圖中兩點之間有連線

哈斯圖中的一條線，具有偏序關係的「最短性」

線序集

哈斯圖是一條直線

∀ x∀

y可比\forall x \forall y可比

∀x∀y可比

哈斯圖中向上/向下路徑中的那些終點都是極元

唯一的那個極元

能順著重力流向所有元素/被所有元素流向的那些元素

上界的最小元，下界的最大元

任何子圖都存在最小元

不漏，不空，不交的一種劃分方式，寫為vector= vector《劃分塊》，vecvec.size() = 秩

在同乙個劃分塊中算乙個等價關係

r1 ⊆

\subseteq

⊆ r2，求證t(r1) ⊆

《離散數學》關係

為什麼要研究乙個關係的演算法？我總是在想這個 難道是現實世界關係的模型對於我們來說，都是數學中研究的關係 關係把世界連線為了乙個巨大的網 一，關係的定義以及性質 從數學的角度來說，關係是笛卡兒的子集，就是乙個二維表，還可以是乙個矩陣，乙個有向圖。關係有一些性質，自反 a,b有相同的父母 對稱 a,b...

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