這學期學習了離散數學ⅱ這門課程，離散數學ⅱ包含了群、環、域、格、布林代數五個代數系統
代數系統：非空集合a，連同若干個在該集合上的封閉運算f1，f2，…，fn所組成的系統，記為1，f2，……，fn>
代數系統的組成：載體（非空集合a），定義在載體上的運算，代數常元
代數運算的性質：交換律，結合律，分配律，吸收律（x*（xoy）=x），等冪律（x*x=x）
代數常元：
么元（單位元）：左么元：el * x=x 右么元：x * er=x
零元：左零元：θl * x=θl 右零元：x * θ r=θ r
逆元：x*y=e -----> x是y的左逆元，y是x的右逆元
子代數：是代數系統，是二元運算，δ是一元運算，k是代數常元，若：①. a|⊆a ②. 和δ在 a|封閉 ③. k∈ a| ，那麼|，，δ，k>是，δ，k>的子代數
平凡子代數： t是a中代數常元的集合，且*和δ在t封閉，則和是的平凡子代數
非平凡子代數（真子代數）：不是平凡子代數的子代數
同態：a=，δ，k>和 a| =| ，
| ，δ| ，k| >是兩個具有相同構成的代數系統，f是s到s|的乙個對映，對任意a，b∈s，有f（a*b）=f（a） *| f（b），f（δa）=δ|f（a），==f（k）=k| ==（先函式再運算=先運算再函式），則稱f是a到a|的同態對映，稱a同態於a|，a~a|
同態象：|，δ| ，k| >為a在f下的同態象，f(s)=∈s|
分類1：
滿同態：f 滿射
單一同態：f 單射
分類2：
同構：f 雙射
自同態：a|=a
自同構：a|=a且f 雙射
同餘：a=是代數系統，~是s上的等價關係，a、b、c∈s
①. a~b時，若δa ~ δb，則等價關係 ~在一元運算δ下可保持，稱 ~是關於δ的同餘關係
②. a~b，c ~d時，若a * c ~ b * d，則等價關係 ~在二元運算 * 下可保持， ~是關於 * 的同餘關係
由函式g引導的s上的等價關係 ~ 為：任取a，b∈s，a ~ b當且僅當g(a)=a(b)
截圖自課堂ppt
由於結合律的可繼承性，半群的子代數也是半群，即子半群
子獨異點：是獨異點，t∈s， * 在t封閉，e∈t，那麼，e>是的子代數，而，e>本身也是乙個獨異點，所以是的子獨異點
迴圈獨異點：是獨異點，若存在g∈s，對於任意a∈s，都有乙個對應的k∈n使得a=gk，則稱是迴圈獨異點，g是此迴圈獨異點的生成元
群的性質：
①. 群中無零元
②. 群中每個元素的逆元唯一
③. 是群，任意a，b∈g，必存在唯一的x∈g，使得a * x=b
④. 是群，任意a，b∈g，若a * b=a * c或b * a=c * a，則必有b=c
⑤. 是群，除么元外，不可能有唯一的等冪元
⑥. 群運算表中每一行每一列都是g中元素的乙個置換
群中元素的階：使該元素的冪為么元的最小正整數
子群：是群，s是g的非空子集，若也構成群，則是的子群
平凡子群：和是的平凡子群
群同態：和是兩個群，有對映：h：g→h，若任意a，b∈g，都有h（a * b）=h(a)@h(b)，則h為從到的群同態，是的同態象
同態核：設h是從到的乙個同態對映，eh是中的么元。ker(h)=，稱ker(h)為群同態對映h的核，簡稱h的同態核
阿貝爾群（交換群）：是群，若 * 可交換，則該群為abel群
迴圈群：是群，若存在g∈g，使得任意a∈g都能表示成 gi （i是整數）的形式，則稱是迴圈群，g是迴圈群的生成元
迴圈獨異點：是獨異點，若存在g∈s，對於任意a∈s，都有a=gk(k是整數)，稱此獨異點為迴圈獨異點，g為此迴圈獨異點的生成元
培集：是的子群，a∈g，則集合ah=稱為由a確定的h在g中的左培集，g稱為左培集ah的代表元素，ha=是右培集
拉格朗日定理：設是的乙個子群，那麼有：
①r=是g中的等價關係，且有[a]r=ah
②若g是有限群，|g|=n，|h|=m，則m|n
推論：①任何質數階的群沒有非平凡子群
②是n階有限群，對於任意a∈g，a的階數必為n的因子，且an=e
③質數階的群必為迴圈群，並且任何與么元不同的元素均可作為生成元
環：是乙個代數系統，若滿足：
①. 是abel群
②是半群
③乘法·對加法+可分配
則稱是環
交換環：是環，且運算·可交換
含么環：是環，且中含么元
無零因子環：是環，θ是a中關於運算+的么元。若a，b∈a，a≠θ，b≠θ，但a·b=θ，則稱a，b為零因子，是含零因子環，否則是無零因子環
整環：是代數系統，若：
①是abel群
②是可交換獨異點，且無零因子
③乘法·對加法+可分配
則稱是整環
域：是代數系統，θ是f中關於運算+的么元，若：
①是abel群
②是abel群
③乘法·對加法+可分配
則稱是域
域一定是整環
最小上界（上確界） lub
最大下界（下確界） glb
偏序格：設是乙個偏序集，如果集合l中的任意兩個元素都有最小上界和最大下界，則稱為偏序格。
保交運算 a∧b = glb,求a,b的最大下界
保聯運算 a∨b = lub,求a,b的最小上界
代數格：設是乙個偏序格，在l上可以定義兩個運算∧和∨，則稱為格所誘導的代數系統，簡稱代數格。
格：設是乙個代數系統，其中運算∧和∨都是二元運算，且滿**換律，結合律，吸收律，則稱是格
設是乙個格，是由所誘導的代數系統。s∈l且s≠∅， 如果l中的兩個運算∧和∨在s上是封閉的，則稱是的子格。
格同態：設和是兩個格，由它們所分別誘導的代數系統為和，如果存在乙個從l1到l2的對映f,使得任取a,b∈l1滿足
f(a∧b)=f(a) ∧』f(b)
f(a∨b)=f(a) ∨』f(b)
則稱f為從到的格同態，稱
為的同態象。
格同構：設f是從格到格的格同態，若f是雙射函式，則稱f為從到的格同構。
分配格：設是由格所誘導的代數系統，如果對任意的a,b,c∈l,滿足：
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
則稱是分配格。
鑽石格，五角格不是分配格
全上界(全下界)：如果格中存在乙個元素a,對於任何元素b∈l,均有b ≤a(a ≤b),則稱a為格的全上界(全下界)。通常將全上界記為「1」，而將全下界記為「0」。
既有全上界又有全下界的格是有界格
補元：設是乙個有界格，對於l中乙個元素a,如果存在元素b∈l,使得a∧b=0, a∨b=1,則稱元素b是a的補元，記為a』=b。同時，a也是b的補元，即b』=a。
有補格：在乙個有界格中，若每個元素至少有乙個補元，則稱此格為有補格。
布林格：若乙個格既是有補格又是分配格，則稱此格為布林格
布林代數：由布林格可以誘導的代數系統』>
有限布林代數：載體含有有限個元素的布林代數稱為有限布林代數
布林代數的性質：交換律，分配律，同一律，互補律
覆蓋：設a,b是乙個格中的兩個元素，如果b≤a且b≠a,即b原子：設是乙個格，且具有全下界0,如果有元素a∈a, a蓋住0，則稱元素a為原子。
布林表示式：
布林常元：設是乙個布林代數，稱b中的元素為該布林代數的布林常元
布林變元：設是乙個布林代數，稱取值於b中元素的變數為該布林代數的布林變元。
①單個布林常元和單個布林變元是布林表示式。
②如果e1和e2是布林表示式，則e1』,(e1∨e2),(e1∧e2)也是布林表示式。
③只有有限次應用(1)和(2)所構造的符號串是布林表示式。
布林表示式等價：設布林代數上兩個n元的布林表示式為e1(x1,x2,…,xn)和e2(x1,x2,…,xn),如果對於n個變元的任意賦值xi=xi〞, xi〞∈b時均有
e1(x1〞,x2〞,…,xn〞)= e2(x1〞,x2〞,…,xn〞)
則稱這兩個布林表示式是等價的。記作
e1(x1,x2,…,xn)=e2(x1,x2,…,xn)
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1 ab為重言式 如果a b共同含有n個命題變項，a或b可能含有啞元。若a與b有相同的真值表，則說明在所有的2 n個賦值下，a與b的真值都相同，因而等價式ab為重言式。2 等值 如果等價式ab為重言式，那麼a與b是等值的，記做a b。3 等值式模式 根據p非非p是重言式，那麼我們可以推導出，對於乙個...
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